Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13389 / 3799
↖ ↑ ↗
← N 79.767512°
W 32.904053°		 ← 217.02 m → N 79.767512°
W 32.893066°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
N 79.765560°
W 32.904053°		 ← 217.06 m →
47 110 m²		 N 79.765560°
W 32.893066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408615112304688 y=0.115951538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408615112304688 × 215)
    floor (0.408615112304688 × 32768)
    floor (13389.5)     		tx = 13389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115951538085938 × 215)
    floor (0.115951538085938 × 32768)
    floor (3799.5)     		ty = 3799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13389 / 3799 ti = "15/13389/3799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13389/3799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13389 ÷ 215
    13389 ÷ 32768     		x = 0.408599853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3799 ÷ 215
    3799 ÷ 32768     		y = 0.115936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.18280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57428406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115936279296875 × 2 - 1) × π
    0.76812744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41314352687363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57428406} λ = -0.57428406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41314352687363))-π/2
    2×atan(11.1690161203962)-π/2
    2×1.48150102168762-π/2
    2.96300204337524-1.57079632675     		φ = 1.39220572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57428406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.904053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39220572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.767512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13389 KachelY 3799 -0.57428406 1.39220572 -32.904053 79.767512
    Oben rechts KachelX + 1 13390 KachelY 3799 -0.57409231 1.39220572 -32.893066 79.767512
    Unten links KachelX 13389 KachelY + 1 3800 -0.57428406 1.39217165 -32.904053 79.765560
    Unten rechts KachelX + 1 13390 KachelY + 1 3800 -0.57409231 1.39217165 -32.893066 79.765560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39220572-1.39217165) × R
    3.40699999998861e-05 × 6371000     		dl = 217.059969999275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39220572-1.39217165) × R
    3.40699999998861e-05 × 6371000     		dr = 217.059969999275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57428406--0.57409231) × cos(1.39220572) × R
    0.000191749999999935 × 0.17764277345821 × 6371000     		do = 217.015384535334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57428406--0.57409231) × cos(1.39217165) × R
    0.000191749999999935 × 0.177676301473069 × 6371000     		du = 217.05634367426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39220572)-sin(1.39217165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17764277345821-0.177676301473069)×R²
    abs(-0.57409231--0.57428406)×3.35280148584804e-05×R²
    0.000191749999999935×3.35280148584804e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.35280148584804e-05×40589641000000     		ar = 47109.7981555564m²