Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13385 / 5710
↖ ↑ ↗
← N 47.783634°
E114.104004°		 ← 1 641.67 m → N 47.783634°
E114.125976°		 →
↑
1 641.93 m
↓
↑
1 641.93 m
↓
N 47.768868°
E114.104004°		 ← 1 642.14 m →
2 695 904 m²		 N 47.768868°
E114.125976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816986083984375 y=0.348541259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816986083984375 × 214)
    floor (0.816986083984375 × 16384)
    floor (13385.5)     		tx = 13385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348541259765625 × 214)
    floor (0.348541259765625 × 16384)
    floor (5710.5)     		ty = 5710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13385 / 5710 ti = "14/13385/5710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13385/5710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13385 ÷ 214
    13385 ÷ 16384     		x = 0.81695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5710 ÷ 214
    5710 ÷ 16384     		y = 0.3485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81695556640625 × 2 - 1) × π
    0.6339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.99149056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3485107421875 × 2 - 1) × π
    0.302978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.951835078855835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99149056} λ = 1.99149056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951835078855835))-π/2
    2×atan(2.5904589968106)-π/2
    2×1.20238903986598-π/2
    2.40477807973197-1.57079632675     		φ = 0.83398175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99149056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.104004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83398175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.783634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13385 KachelY 5710 1.99149056 0.83398175 114.104004 47.783634
    Oben rechts KachelX + 1 13386 KachelY 5710 1.99187405 0.83398175 114.125976 47.783634
    Unten links KachelX 13385 KachelY + 1 5711 1.99149056 0.83372403 114.104004 47.768868
    Unten rechts KachelX + 1 13386 KachelY + 1 5711 1.99187405 0.83372403 114.125976 47.768868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83398175-0.83372403) × R
    0.000257720000000017 × 6371000     		dl = 1641.93412000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83398175-0.83372403) × R
    0.000257720000000017 × 6371000     		dr = 1641.93412000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99149056-1.99187405) × cos(0.83398175) × R
    0.000383490000000153 × 0.671932159752895 × 6371000     		do = 1641.67459058557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99149056-1.99187405) × cos(0.83372403) × R
    0.000383490000000153 × 0.672123008141318 × 6371000     		du = 1642.14087419081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83398175)-sin(0.83372403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671932159752895-0.672123008141318)×R²
    abs(1.99187405-1.99149056)×0.000190848388423315×R²
    0.000383490000000153×0.000190848388423315×6371000²
    0.000383490000000153×0.000190848388423315×40589641000000     		ar = 2695904.34262273m²