Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13385 / 5708
↖ ↑ ↗
← N 47.813154°
E114.104004°		 ← 1 640.74 m → N 47.813154°
E114.125976°		 →
↑
1 640.98 m
↓
↑
1 640.98 m
↓
N 47.798397°
E114.104004°		 ← 1 641.21 m →
2 692 805 m²		 N 47.798397°
E114.125976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816986083984375 y=0.348419189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816986083984375 × 214)
    floor (0.816986083984375 × 16384)
    floor (13385.5)     		tx = 13385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348419189453125 × 214)
    floor (0.348419189453125 × 16384)
    floor (5708.5)     		ty = 5708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13385 / 5708 ti = "14/13385/5708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13385/5708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13385 ÷ 214
    13385 ÷ 16384     		x = 0.81695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5708 ÷ 214
    5708 ÷ 16384     		y = 0.348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81695556640625 × 2 - 1) × π
    0.6339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.99149056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348388671875 × 2 - 1) × π
    0.30322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.952602069249756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99149056} λ = 1.99149056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952602069249756))-π/2
    2×atan(2.59244661612202)-π/2
    2×1.20264664943614-π/2
    2.40529329887227-1.57079632675     		φ = 0.83449697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99149056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.104004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83449697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.813154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13385 KachelY 5708 1.99149056 0.83449697 114.104004 47.813154
    Oben rechts KachelX + 1 13386 KachelY 5708 1.99187405 0.83449697 114.125976 47.813154
    Unten links KachelX 13385 KachelY + 1 5709 1.99149056 0.83423940 114.104004 47.798397
    Unten rechts KachelX + 1 13386 KachelY + 1 5709 1.99187405 0.83423940 114.125976 47.798397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83449697-0.83423940) × R
    0.00025757000000004 × 6371000     		dl = 1640.97847000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83449697-0.83423940) × R
    0.00025757000000004 × 6371000     		dr = 1640.97847000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99149056-1.99187405) × cos(0.83449697) × R
    0.000383490000000153 × 0.671550492111287 × 6371000     		do = 1640.74209455873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99149056-1.99187405) × cos(0.83423940) × R
    0.000383490000000153 × 0.671741318590015 × 6371000     		du = 1641.20832463388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83449697)-sin(0.83423940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671550492111287-0.671741318590015)×R²
    abs(1.99187405-1.99149056)×0.00019082647872859×R²
    0.000383490000000153×0.00019082647872859×6371000²
    0.000383490000000153×0.00019082647872859×40589641000000     		ar = 2692805.00363947m²