Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13384 / 2744
↖ ↑ ↗
← N 81.634149°
W 32.958985°		 ← 177.74 m → N 81.634149°
W 32.947998°		 →
↑
177.75 m
↓
↑
177.75 m
↓
N 81.632550°
W 32.958985°		 ← 177.77 m →
31 597 m²		 N 81.632550°
W 32.947998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408462524414062 y=0.0837554931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408462524414062 × 215)
    floor (0.408462524414062 × 32768)
    floor (13384.5)     		tx = 13384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0837554931640625 × 215)
    floor (0.0837554931640625 × 32768)
    floor (2744.5)     		ty = 2744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13384 / 2744 ti = "15/13384/2744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13384/2744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13384 ÷ 215
    13384 ÷ 32768     		x = 0.408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2744 ÷ 215
    2744 ÷ 32768     		y = 0.083740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.18310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57524280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083740234375 × 2 - 1) × π
    0.83251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61543724327026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57524280} λ = -0.57524280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61543724327026))-π/2
    2×atan(13.6731935829294)-π/2
    2×1.49779050371362-π/2
    2.99558100742724-1.57079632675     		φ = 1.42478468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57524280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.958985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42478468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.634149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13384 KachelY 2744 -0.57524280 1.42478468 -32.958985 81.634149
    Oben rechts KachelX + 1 13385 KachelY 2744 -0.57505105 1.42478468 -32.947998 81.634149
    Unten links KachelX 13384 KachelY + 1 2745 -0.57524280 1.42475678 -32.958985 81.632550
    Unten rechts KachelX + 1 13385 KachelY + 1 2745 -0.57505105 1.42475678 -32.947998 81.632550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42478468-1.42475678) × R
    2.78999999998586e-05 × 6371000     		dl = 177.750899999099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42478468-1.42475678) × R
    2.78999999998586e-05 × 6371000     		dr = 177.750899999099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57524280--0.57505105) × cos(1.42478468) × R
    0.000191750000000046 × 0.145493386079104 × 6371000     		do = 177.74043104968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57524280--0.57505105) × cos(1.42475678) × R
    0.000191750000000046 × 0.14552098914483 × 6371000     		du = 177.774152038191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42478468)-sin(1.42475678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145493386079104-0.14552098914483)×R²
    abs(-0.57505105--0.57524280)×2.76030657260784e-05×R²
    0.000191750000000046×2.76030657260784e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.76030657260784e-05×40589641000000     		ar = 31596.5185554659m²