Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13382 / 21431
↖ ↑ ↗
← S 48.392738°
W 32.980957°		 ← 811.19 m → S 48.392738°
W 32.969971°		 →
↑
811.16 m
↓
↑
811.16 m
↓
S 48.400033°
W 32.980957°		 ← 811.08 m →
657 958 m²		 S 48.400033°
W 32.969971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408401489257812 y=0.654037475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408401489257812 × 215)
    floor (0.408401489257812 × 32768)
    floor (13382.5)     		tx = 13382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654037475585938 × 215)
    floor (0.654037475585938 × 32768)
    floor (21431.5)     		ty = 21431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13382 / 21431 ti = "15/13382/21431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13382/21431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13382 ÷ 215
    13382 ÷ 32768     		x = 0.40838623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21431 ÷ 215
    21431 ÷ 32768     		y = 0.654022216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40838623046875 × 2 - 1) × π
    -0.1832275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57562629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.30804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.967750129529694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57562629} λ = -0.57562629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967750129529694))-π/2
    2×atan(0.379936886000031)-π/2
    2×0.363091858493345-π/2
    0.726183716986689-1.57079632675     		φ = -0.84461261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57562629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84461261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.392738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13382 KachelY 21431 -0.57562629 -0.84461261 -32.980957 -48.392738
    Oben rechts KachelX + 1 13383 KachelY 21431 -0.57543454 -0.84461261 -32.969971 -48.392738
    Unten links KachelX 13382 KachelY + 1 21432 -0.57562629 -0.84473993 -32.980957 -48.400033
    Unten rechts KachelX + 1 13383 KachelY + 1 21432 -0.57543454 -0.84473993 -32.969971 -48.400033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84461261--0.84473993) × R
    0.000127320000000042 × 6371000     		dl = 811.155720000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84461261--0.84473993) × R
    0.000127320000000042 × 6371000     		dr = 811.155720000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57562629--0.57543454) × cos(-0.84461261) × R
    0.000191749999999935 × 0.664020989205378 × 6371000     		do = 811.194103236841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57562629--0.57543454) × cos(-0.84473993) × R
    0.000191749999999935 × 0.663925784885643 × 6371000     		du = 811.077797903084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84461261)-sin(-0.84473993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664020989205378-0.663925784885643)×R²
    abs(-0.57543454--0.57562629)×9.520431973431e-05×R²
    0.000191749999999935×9.520431973431e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.520431973431e-05×40589641000000     		ar = 657957.566892065m²