Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13381 / 12622
↖ ↑ ↗
← S 69.271708°
E114.016113°		 ← 864.74 m → S 69.271708°
E114.038086°		 →
↑
864.61 m
↓
↑
864.61 m
↓
S 69.279484°
E114.016113°		 ← 864.43 m →
747 530 m²		 S 69.279484°
E114.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816741943359375 y=0.770416259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816741943359375 × 214)
    floor (0.816741943359375 × 16384)
    floor (13381.5)     		tx = 13381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770416259765625 × 214)
    floor (0.770416259765625 × 16384)
    floor (12622.5)     		ty = 12622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13381 / 12622 ti = "14/13381/12622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13381/12622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13381 ÷ 214
    13381 ÷ 16384     		x = 0.81671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12622 ÷ 214
    12622 ÷ 16384     		y = 0.7703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81671142578125 × 2 - 1) × π
    0.6334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98995658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69888372253479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98995658} λ = 1.98995658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69888372253479))-π/2
    2×atan(0.182887563414984)-π/2
    2×0.180888466016382-π/2
    0.361776932032763-1.57079632675     		φ = -1.20901939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98995658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20901939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.271708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13381 KachelY 12622 1.98995658 -1.20901939 114.016113 -69.271708
    Oben rechts KachelX + 1 13382 KachelY 12622 1.99034007 -1.20901939 114.038086 -69.271708
    Unten links KachelX 13381 KachelY + 1 12623 1.98995658 -1.20915510 114.016113 -69.279484
    Unten rechts KachelX + 1 13382 KachelY + 1 12623 1.99034007 -1.20915510 114.038086 -69.279484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20901939--1.20915510) × R
    0.000135710000000122 × 6371000     		dl = 864.608410000778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20901939--1.20915510) × R
    0.000135710000000122 × 6371000     		dr = 864.608410000778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98995658-1.99034007) × cos(-1.20901939) × R
    0.000383489999999931 × 0.35393670574857 × 6371000     		do = 864.743394208629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98995658-1.99034007) × cos(-1.20915510) × R
    0.000383489999999931 × 0.353809777082489 × 6371000     		du = 864.433280214384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20901939)-sin(-1.20915510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35393670574857-0.353809777082489)×R²
    abs(1.99034007-1.98995658)×0.000126928666081327×R²
    0.000383489999999931×0.000126928666081327×6371000²
    0.000383489999999931×0.000126928666081327×40589641000000     		ar = 747530.348688888m²