Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13380 / 12621
↖ ↑ ↗
← S 69.263930°
E113.994141°		 ← 865.08 m → S 69.263930°
E114.016113°		 →
↑
864.86 m
↓
↑
864.86 m
↓
S 69.271708°
E113.994141°		 ← 864.77 m →
748 038 m²		 S 69.271708°
E114.016113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816680908203125 y=0.770355224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816680908203125 × 214)
    floor (0.816680908203125 × 16384)
    floor (13380.5)     		tx = 13380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770355224609375 × 214)
    floor (0.770355224609375 × 16384)
    floor (12621.5)     		ty = 12621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13380 / 12621 ti = "14/13380/12621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13380/12621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13380 ÷ 214
    13380 ÷ 16384     		x = 0.816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12621 ÷ 214
    12621 ÷ 16384     		y = 0.77032470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816650390625 × 2 - 1) × π
    0.63330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98957308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77032470703125 × 2 - 1) × π
    -0.5406494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69850022733783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98957308} λ = 1.98957308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69850022733783))-π/2
    2×atan(0.182957713367362)-π/2
    2×0.180956344701001-π/2
    0.361912689402002-1.57079632675     		φ = -1.20888364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98957308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20888364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.263930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13380 KachelY 12621 1.98957308 -1.20888364 113.994141 -69.263930
    Oben rechts KachelX + 1 13381 KachelY 12621 1.98995658 -1.20888364 114.016113 -69.263930
    Unten links KachelX 13380 KachelY + 1 12622 1.98957308 -1.20901939 113.994141 -69.271708
    Unten rechts KachelX + 1 13381 KachelY + 1 12622 1.98995658 -1.20901939 114.016113 -69.271708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20888364--1.20901939) × R
    0.000135749999999879 × 6371000     		dl = 864.863249999229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20888364--1.20901939) × R
    0.000135749999999879 × 6371000     		dr = 864.863249999229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98957308-1.98995658) × cos(-1.20888364) × R
    0.000383500000000092 × 0.35406366530498 × 6371000     		do = 865.076141071061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98957308-1.98995658) × cos(-1.20901939) × R
    0.000383500000000092 × 0.35393670574857 × 6371000     		du = 864.765943516516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20888364)-sin(-1.20901939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35406366530498-0.35393670574857)×R²
    abs(1.98995658-1.98957308)×0.000126959556409678×R²
    0.000383500000000092×0.000126959556409678×6371000²
    0.000383500000000092×0.000126959556409678×40589641000000     		ar = 748038.424779355m²