Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13377 / 12595
↖ ↑ ↗
← S 69.060712°
E113.928223°		 ← 873.15 m → S 69.060712°
E113.950195°		 →
↑
873.02 m
↓
↑
873.02 m
↓
S 69.068563°
E113.928223°		 ← 872.84 m →
762 141 m²		 S 69.068563°
E113.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816497802734375 y=0.768768310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816497802734375 × 214)
    floor (0.816497802734375 × 16384)
    floor (13377.5)     		tx = 13377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768768310546875 × 214)
    floor (0.768768310546875 × 16384)
    floor (12595.5)     		ty = 12595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13377 / 12595 ti = "14/13377/12595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13377/12595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13377 ÷ 214
    13377 ÷ 16384     		x = 0.81646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12595 ÷ 214
    12595 ÷ 16384     		y = 0.76873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81646728515625 × 2 - 1) × π
    0.6329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98842260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76873779296875 × 2 - 1) × π
    -0.5374755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68852935221686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98842260} λ = 1.98842260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68852935221686))-π/2
    2×atan(0.184791086859615)-π/2
    2×0.182729758987971-π/2
    0.365459517975943-1.57079632675     		φ = -1.20533681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98842260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20533681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.060712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13377 KachelY 12595 1.98842260 -1.20533681 113.928223 -69.060712
    Oben rechts KachelX + 1 13378 KachelY 12595 1.98880609 -1.20533681 113.950195 -69.060712
    Unten links KachelX 13377 KachelY + 1 12596 1.98842260 -1.20547384 113.928223 -69.068563
    Unten rechts KachelX + 1 13378 KachelY + 1 12596 1.98880609 -1.20547384 113.950195 -69.068563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20533681--1.20547384) × R
    0.000137030000000093 × 6371000     		dl = 873.018130000595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20533681--1.20547384) × R
    0.000137030000000093 × 6371000     		dr = 873.018130000595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98842260-1.98880609) × cos(-1.20533681) × R
    0.000383489999999931 × 0.357378502332637 × 6371000     		do = 873.15244252699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98842260-1.98880609) × cos(-1.20547384) × R
    0.000383489999999931 × 0.357250518488506 × 6371000     		du = 872.839750506129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20533681)-sin(-1.20547384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357378502332637-0.357250518488506)×R²
    abs(1.98880609-1.98842260)×0.000127983844130486×R²
    0.000383489999999931×0.000127983844130486×6371000²
    0.000383489999999931×0.000127983844130486×40589641000000     		ar = 762141.420870474m²