Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13371 / 12601
↖ ↑ ↗
← S 69.107777°
E113.796387°		 ← 871.28 m → S 69.107777°
E113.818359°		 →
↑
871.17 m
↓
↑
871.17 m
↓
S 69.115611°
E113.796387°		 ← 870.97 m →
758 896 m²		 S 69.115611°
E113.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816131591796875 y=0.769134521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816131591796875 × 214)
    floor (0.816131591796875 × 16384)
    floor (13371.5)     		tx = 13371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769134521484375 × 214)
    floor (0.769134521484375 × 16384)
    floor (12601.5)     		ty = 12601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13371 / 12601 ti = "14/13371/12601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13371/12601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13371 ÷ 214
    13371 ÷ 16384     		x = 0.81610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12601 ÷ 214
    12601 ÷ 16384     		y = 0.76910400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81610107421875 × 2 - 1) × π
    0.6322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98612163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76910400390625 × 2 - 1) × π
    -0.5382080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69083032339862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98612163} λ = 1.98612163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69083032339862))-π/2
    2×atan(0.184366376704403)-π/2
    2×0.182319041692261-π/2
    0.364638083384521-1.57079632675     		φ = -1.20615824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98612163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.796387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20615824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.107777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13371 KachelY 12601 1.98612163 -1.20615824 113.796387 -69.107777
    Oben rechts KachelX + 1 13372 KachelY 12601 1.98650512 -1.20615824 113.818359 -69.107777
    Unten links KachelX 13371 KachelY + 1 12602 1.98612163 -1.20629498 113.796387 -69.115611
    Unten rechts KachelX + 1 13372 KachelY + 1 12602 1.98650512 -1.20629498 113.818359 -69.115611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20615824--1.20629498) × R
    0.00013674000000008 × 6371000     		dl = 871.170540000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20615824--1.20629498) × R
    0.00013674000000008 × 6371000     		dr = 871.170540000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98612163-1.98650512) × cos(-1.20615824) × R
    0.000383489999999931 × 0.356611199383108 × 6371000     		do = 871.277756612291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98612163-1.98650512) × cos(-1.20629498) × R
    0.000383489999999931 × 0.356483446310132 × 6371000     		du = 870.965628414927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20615824)-sin(-1.20629498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356611199383108-0.356483446310132)×R²
    abs(1.98650512-1.98612163)×0.000127753072976244×R²
    0.000383489999999931×0.000127753072976244×6371000²
    0.000383489999999931×0.000127753072976244×40589641000000     		ar = 758895.556455671m²