Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13369 / 12599
↖ ↑ ↗
← S 69.092100°
E113.752441°		 ← 871.92 m → S 69.092100°
E113.774414°		 →
↑
871.74 m
↓
↑
871.74 m
↓
S 69.099940°
E113.752441°		 ← 871.61 m →
759 959 m²		 S 69.099940°
E113.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816009521484375 y=0.769012451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816009521484375 × 214)
    floor (0.816009521484375 × 16384)
    floor (13369.5)     		tx = 13369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769012451171875 × 214)
    floor (0.769012451171875 × 16384)
    floor (12599.5)     		ty = 12599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13369 / 12599 ti = "14/13369/12599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13369/12599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13369 ÷ 214
    13369 ÷ 16384     		x = 0.81597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12599 ÷ 214
    12599 ÷ 16384     		y = 0.76898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81597900390625 × 2 - 1) × π
    0.6319580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98535463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.5379638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6900633330047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98535463} λ = 1.98535463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6900633330047))-π/2
    2×atan(0.184507838187162)-π/2
    2×0.182455849381288-π/2
    0.364911698762576-1.57079632675     		φ = -1.20588463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98535463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.752441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20588463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.092100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13369 KachelY 12599 1.98535463 -1.20588463 113.752441 -69.092100
    Oben rechts KachelX + 1 13370 KachelY 12599 1.98573813 -1.20588463 113.774414 -69.092100
    Unten links KachelX 13369 KachelY + 1 12600 1.98535463 -1.20602146 113.752441 -69.099940
    Unten rechts KachelX + 1 13370 KachelY + 1 12600 1.98573813 -1.20602146 113.774414 -69.099940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20588463--1.20602146) × R
    0.000136830000000199 × 6371000     		dl = 871.743930001266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20588463--1.20602146) × R
    0.000136830000000199 × 6371000     		dr = 871.743930001266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98535463-1.98573813) × cos(-1.20588463) × R
    0.000383500000000092 × 0.356866806963296 × 6371000     		do = 871.924996817282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98535463-1.98573813) × cos(-1.20602146) × R
    0.000383500000000092 × 0.356738983156393 × 6371000     		du = 871.612687658087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20588463)-sin(-1.20602146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356866806963296-0.356738983156393)×R²
    abs(1.98573813-1.98535463)×0.000127823806903127×R²
    0.000383500000000092×0.000127823806903127×6371000²
    0.000383500000000092×0.000127823806903127×40589641000000     		ar = 759959.197769803m²