Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13368 / 3795
↖ ↑ ↗
← N 79.775316°
W 33.134766°		 ← 216.85 m → N 79.775316°
W 33.123779°		 →
↑
216.87 m
↓
↑
216.87 m
↓
N 79.773365°
W 33.134766°		 ← 216.89 m →
47 033 m²		 N 79.773365°
W 33.123779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407974243164062 y=0.115829467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407974243164062 × 215)
    floor (0.407974243164062 × 32768)
    floor (13368.5)     		tx = 13368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115829467773438 × 215)
    floor (0.115829467773438 × 32768)
    floor (3795.5)     		ty = 3795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13368 / 3795 ti = "15/13368/3795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13368/3795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13368 ÷ 215
    13368 ÷ 32768     		x = 0.407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3795 ÷ 215
    3795 ÷ 32768     		y = 0.115814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115814208984375 × 2 - 1) × π
    0.76837158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41391051726755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57831076} λ = -0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41391051726755))-π/2
    2×atan(11.1775859345325)-π/2
    2×1.48156912113542-π/2
    2.96313824227085-1.57079632675     		φ = 1.39234192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39234192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.775316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13368 KachelY 3795 -0.57831076 1.39234192 -33.134766 79.775316
    Oben rechts KachelX + 1 13369 KachelY 3795 -0.57811901 1.39234192 -33.123779 79.775316
    Unten links KachelX 13368 KachelY + 1 3796 -0.57831076 1.39230788 -33.134766 79.773365
    Unten rechts KachelX + 1 13369 KachelY + 1 3796 -0.57811901 1.39230788 -33.123779 79.773365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39234192-1.39230788) × R
    3.40400000000685e-05 × 6371000     		dl = 216.868840000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39234192-1.39230788) × R
    3.40400000000685e-05 × 6371000     		dr = 216.868840000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57831076--0.57811901) × cos(1.39234192) × R
    0.000191750000000046 × 0.177508738066688 × 6371000     		do = 216.851641640288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57831076--0.57811901) × cos(1.39230788) × R
    0.000191750000000046 × 0.17754223738224 × 6371000     		du = 216.892565719014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39234192)-sin(1.39230788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177508738066688-0.17754223738224)×R²
    abs(-0.57811901--0.57831076)×3.34993155518826e-05×R²
    0.000191750000000046×3.34993155518826e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.34993155518826e-05×40589641000000     		ar = 47032.8015581818m²