Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13368 / 2712
↖ ↑ ↗
← N 81.685144°
W 33.134766°		 ← 176.66 m → N 81.685144°
W 33.123779°		 →
↑
176.67 m
↓
↑
176.67 m
↓
N 81.683555°
W 33.134766°		 ← 176.70 m →
31 214 m²		 N 81.683555°
W 33.123779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407974243164062 y=0.0827789306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407974243164062 × 215)
    floor (0.407974243164062 × 32768)
    floor (13368.5)     		tx = 13368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0827789306640625 × 215)
    floor (0.0827789306640625 × 32768)
    floor (2712.5)     		ty = 2712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13368 / 2712 ti = "15/13368/2712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13368/2712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13368 ÷ 215
    13368 ÷ 32768     		x = 0.407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2712 ÷ 215
    2712 ÷ 32768     		y = 0.082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082763671875 × 2 - 1) × π
    0.83447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62157316642163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57831076} λ = -0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62157316642163))-π/2
    2×atan(13.7573491700608)-π/2
    2×1.49823551964002-π/2
    2.99647103928004-1.57079632675     		φ = 1.42567471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42567471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.685144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13368 KachelY 2712 -0.57831076 1.42567471 -33.134766 81.685144
    Oben rechts KachelX + 1 13369 KachelY 2712 -0.57811901 1.42567471 -33.123779 81.685144
    Unten links KachelX 13368 KachelY + 1 2713 -0.57831076 1.42564698 -33.134766 81.683555
    Unten rechts KachelX + 1 13369 KachelY + 1 2713 -0.57811901 1.42564698 -33.123779 81.683555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42567471-1.42564698) × R
    2.77300000000036e-05 × 6371000     		dl = 176.667830000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42567471-1.42564698) × R
    2.77300000000036e-05 × 6371000     		dr = 176.667830000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57831076--0.57811901) × cos(1.42567471) × R
    0.000191750000000046 × 0.144612769178465 × 6371000     		do = 176.664634879646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57831076--0.57811901) × cos(1.42564698) × R
    0.000191750000000046 × 0.144640207634137 × 6371000     		du = 176.698154774054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42567471)-sin(1.42564698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144612769178465-0.144640207634137)×R²
    abs(-0.57811901--0.57831076)×2.74384556720464e-05×R²
    0.000191750000000046×2.74384556720464e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.74384556720464e-05×40589641000000     		ar = 31213.9186281338m²