Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13368 / 12598
↖ ↑ ↗
← S 69.084257°
E113.730469°		 ← 872.21 m → S 69.084257°
E113.752441°		 →
↑
872.06 m
↓
↑
872.06 m
↓
S 69.092100°
E113.730469°		 ← 871.90 m →
760 489 m²		 S 69.092100°
E113.752441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815948486328125 y=0.768951416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815948486328125 × 214)
    floor (0.815948486328125 × 16384)
    floor (13368.5)     		tx = 13368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768951416015625 × 214)
    floor (0.768951416015625 × 16384)
    floor (12598.5)     		ty = 12598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13368 / 12598 ti = "14/13368/12598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13368/12598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13368 ÷ 214
    13368 ÷ 16384     		x = 0.81591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12598 ÷ 214
    12598 ÷ 16384     		y = 0.7689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81591796875 × 2 - 1) × π
    0.6318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98497114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68967983780774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98497114} λ = 1.98497114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68967983780774))-π/2
    2×atan(0.184578609626294)-π/2
    2×0.182524289993129-π/2
    0.365048579986257-1.57079632675     		φ = -1.20574775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98497114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20574775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.084257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13368 KachelY 12598 1.98497114 -1.20574775 113.730469 -69.084257
    Oben rechts KachelX + 1 13369 KachelY 12598 1.98535463 -1.20574775 113.752441 -69.084257
    Unten links KachelX 13368 KachelY + 1 12599 1.98497114 -1.20588463 113.730469 -69.092100
    Unten rechts KachelX + 1 13369 KachelY + 1 12599 1.98535463 -1.20588463 113.752441 -69.092100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20574775--1.20588463) × R
    0.000136879999999895 × 6371000     		dl = 872.06247999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20574775--1.20588463) × R
    0.000136879999999895 × 6371000     		dr = 872.06247999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98497114-1.98535463) × cos(-1.20574775) × R
    0.000383489999999931 × 0.3569946707941 × 6371000     		do = 872.214659635169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98497114-1.98535463) × cos(-1.20588463) × R
    0.000383489999999931 × 0.356866806963296 × 6371000     		du = 871.902260832644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20574775)-sin(-1.20588463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3569946707941-0.356866806963296)×R²
    abs(1.98535463-1.98497114)×0.000127863830803765×R²
    0.000383489999999931×0.000127863830803765×6371000²
    0.000383489999999931×0.000127863830803765×40589641000000     		ar = 760489.464723386m²