Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13365 / 23531
↖ ↑ ↗
← S 61.496492°
W 33.167725°		 ← 582.98 m → S 61.496492°
W 33.156738°		 →
↑
582.95 m
↓
↑
582.95 m
↓
S 61.501734°
W 33.167725°		 ← 582.88 m →
339 818 m²		 S 61.501734°
W 33.156738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407882690429688 y=0.718124389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407882690429688 × 215)
    floor (0.407882690429688 × 32768)
    floor (13365.5)     		tx = 13365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718124389648438 × 215)
    floor (0.718124389648438 × 32768)
    floor (23531.5)     		ty = 23531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13365 / 23531 ti = "15/13365/23531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13365/23531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13365 ÷ 215
    13365 ÷ 32768     		x = 0.407867431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23531 ÷ 215
    23531 ÷ 32768     		y = 0.718109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.18426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57888600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.43621826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37042008633817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57888600} λ = -0.57888600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37042008633817))-π/2
    2×atan(0.254000235108969)-π/2
    2×0.248740032212804-π/2
    0.497480064425607-1.57079632675     		φ = -1.07331626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57888600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.167725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07331626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.496492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13365 KachelY 23531 -0.57888600 -1.07331626 -33.167725 -61.496492
    Oben rechts KachelX + 1 13366 KachelY 23531 -0.57869425 -1.07331626 -33.156738 -61.496492
    Unten links KachelX 13365 KachelY + 1 23532 -0.57888600 -1.07340776 -33.167725 -61.501734
    Unten rechts KachelX + 1 13366 KachelY + 1 23532 -0.57869425 -1.07340776 -33.156738 -61.501734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07331626--1.07340776) × R
    9.15000000001331e-05 × 6371000     		dl = 582.946500000848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07331626--1.07340776) × R
    9.15000000001331e-05 × 6371000     		dr = 582.946500000848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57888600--0.57869425) × cos(-1.07331626) × R
    0.000191750000000046 × 0.477212569316282 × 6371000     		do = 582.981605270255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57888600--0.57869425) × cos(-1.07340776) × R
    0.000191750000000046 × 0.477132158226367 × 6371000     		du = 582.88337192668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07331626)-sin(-1.07340776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477212569316282-0.477132158226367)×R²
    abs(-0.57869425--0.57888600)×8.04110899148003e-05×R²
    0.000191750000000046×8.04110899148003e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.04110899148003e-05×40589641000000     		ar = 339818.454202408m²