Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13363 / 23532
↖ ↑ ↗
← S 61.501734°
W 33.189698°		 ← 582.88 m → S 61.501734°
W 33.178711°		 →
↑
582.82 m
↓
↑
582.82 m
↓
S 61.506976°
W 33.189698°		 ← 582.79 m →
339 687 m²		 S 61.506976°
W 33.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407821655273438 y=0.718154907226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407821655273438 × 215)
    floor (0.407821655273438 × 32768)
    floor (13363.5)     		tx = 13363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718154907226562 × 215)
    floor (0.718154907226562 × 32768)
    floor (23532.5)     		ty = 23532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13363 / 23532 ti = "15/13363/23532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13363/23532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13363 ÷ 215
    13363 ÷ 32768     		x = 0.407806396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23532 ÷ 215
    23532 ÷ 32768     		y = 0.7181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.18438720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57926950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7181396484375 × 2 - 1) × π
    -0.436279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37061183393665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57926950} λ = -0.57926950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37061183393665))-π/2
    2×atan(0.253951535843007)-π/2
    2×0.248694283885532-π/2
    0.497388567771063-1.57079632675     		φ = -1.07340776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57926950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.189698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07340776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.501734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13363 KachelY 23532 -0.57926950 -1.07340776 -33.189698 -61.501734
    Oben rechts KachelX + 1 13364 KachelY 23532 -0.57907775 -1.07340776 -33.178711 -61.501734
    Unten links KachelX 13363 KachelY + 1 23533 -0.57926950 -1.07349924 -33.189698 -61.506976
    Unten rechts KachelX + 1 13364 KachelY + 1 23533 -0.57907775 -1.07349924 -33.178711 -61.506976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07340776--1.07349924) × R
    9.14800000000326e-05 × 6371000     		dl = 582.819080000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07340776--1.07349924) × R
    9.14800000000326e-05 × 6371000     		dr = 582.819080000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57926950--0.57907775) × cos(-1.07340776) × R
    0.000191750000000046 × 0.477132158226367 × 6371000     		do = 582.88337192668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57926950--0.57907775) × cos(-1.07349924) × R
    0.000191750000000046 × 0.477051760719287 × 6371000     		du = 582.785155176429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07340776)-sin(-1.07349924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477132158226367-0.477051760719287)×R²
    abs(-0.57907775--0.57926950)×8.0397507080332e-05×R²
    0.000191750000000046×8.0397507080332e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.0397507080332e-05×40589641000000     		ar = 339686.929512819m²