Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1336 / 889
↖ ↑ ↗
← N 80.231047°
W121.289063°		 ← 829.12 m → N 80.231047°
W121.245117°		 →
↑
829.44 m
↓
↑
829.44 m
↓
N 80.223588°
W121.289063°		 ← 829.75 m →
687 964 m²		 N 80.223588°
W121.245117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16314697265625 y=0.10858154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16314697265625 × 213)
    floor (0.16314697265625 × 8192)
    floor (1336.5)     		tx = 1336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10858154296875 × 213)
    floor (0.10858154296875 × 8192)
    floor (889.5)     		ty = 889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1336 / 889 ti = "13/1336/889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1336/889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1336 ÷ 213
    1336 ÷ 8192     		x = 0.1630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 889 ÷ 213
    889 ÷ 8192     		y = 0.1085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1630859375 × 2 - 1) × π
    -0.673828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11689349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1085205078125 × 2 - 1) × π
    0.782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45973819330432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11689349} λ = -2.11689349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45973819330432))-π/2
    2×atan(11.701747543053)-π/2
    2×1.48554612893292-π/2
    2.97109225786584-1.57079632675     		φ = 1.40029593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11689349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.289063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40029593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.231047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1336 KachelY 889 -2.11689349 1.40029593 -121.289063 80.231047
    Oben rechts KachelX + 1 1337 KachelY 889 -2.11612650 1.40029593 -121.245117 80.231047
    Unten links KachelX 1336 KachelY + 1 890 -2.11689349 1.40016574 -121.289063 80.223588
    Unten rechts KachelX + 1 1337 KachelY + 1 890 -2.11612650 1.40016574 -121.245117 80.223588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40029593-1.40016574) × R
    0.000130189999999919 × 6371000     		dl = 829.440489999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40029593-1.40016574) × R
    0.000130189999999919 × 6371000     		dr = 829.440489999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11689349--2.11612650) × cos(1.40029593) × R
    0.000766989999999801 × 0.169675511323503 × 6371000     		do = 829.1182475594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11689349--2.11612650) × cos(1.40016574) × R
    0.000766989999999801 × 0.169803812128263 × 6371000     		du = 829.745188580963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40029593)-sin(1.40016574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169675511323503-0.169803812128263)×R²
    abs(-2.11612650--2.11689349)×0.000128300804760395×R²
    0.000766989999999801×0.000128300804760395×6371000²
    0.000766989999999801×0.000128300804760395×40589641000000     		ar = 687964.251628797m²