Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1336 / 729
↖ ↑ ↗
← N 81.354684°
W121.289063°		 ← 734.52 m → N 81.354684°
W121.245117°		 →
↑
734.83 m
↓
↑
734.83 m
↓
N 81.348076°
W121.289063°		 ← 735.08 m →
539 956 m²		 N 81.348076°
W121.245117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16314697265625 y=0.08905029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16314697265625 × 213)
    floor (0.16314697265625 × 8192)
    floor (1336.5)     		tx = 1336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08905029296875 × 213)
    floor (0.08905029296875 × 8192)
    floor (729.5)     		ty = 729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1336 / 729 ti = "13/1336/729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1336/729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1336 ÷ 213
    1336 ÷ 8192     		x = 0.1630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 729 ÷ 213
    729 ÷ 8192     		y = 0.0889892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1630859375 × 2 - 1) × π
    -0.673828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11689349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0889892578125 × 2 - 1) × π
    0.822021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58245665633167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11689349} λ = -2.11689349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58245665633167))-π/2
    2×atan(13.2295988487314)-π/2
    2×1.49535171245217-π/2
    2.99070342490434-1.57079632675     		φ = 1.41990710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11689349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.289063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41990710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.354684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1336 KachelY 729 -2.11689349 1.41990710 -121.289063 81.354684
    Oben rechts KachelX + 1 1337 KachelY 729 -2.11612650 1.41990710 -121.245117 81.354684
    Unten links KachelX 1336 KachelY + 1 730 -2.11689349 1.41979176 -121.289063 81.348076
    Unten rechts KachelX + 1 1337 KachelY + 1 730 -2.11612650 1.41979176 -121.245117 81.348076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41990710-1.41979176) × R
    0.000115340000000019 × 6371000     		dl = 734.831140000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41990710-1.41979176) × R
    0.000115340000000019 × 6371000     		dr = 734.831140000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11689349--2.11612650) × cos(1.41990710) × R
    0.000766989999999801 × 0.150317315012069 × 6371000     		do = 734.5245511771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11689349--2.11612650) × cos(1.41979176) × R
    0.000766989999999801 × 0.150431343496113 × 6371000     		du = 735.081750599251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41990710)-sin(1.41979176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150317315012069-0.150431343496113)×R²
    abs(-2.11612650--2.11689349)×0.000114028484044265×R²
    0.000766989999999801×0.000114028484044265×6371000²
    0.000766989999999801×0.000114028484044265×40589641000000     		ar = 539956.237642149m²