Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13353 / 3802
↖ ↑ ↗
← N 79.761655°
W 33.299560°		 ← 217.14 m → N 79.761655°
W 33.288574°		 →
↑
217.19 m
↓
↑
217.19 m
↓
N 79.759702°
W 33.299560°		 ← 217.18 m →
47 164 m²		 N 79.759702°
W 33.288574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407516479492188 y=0.116043090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407516479492188 × 215)
    floor (0.407516479492188 × 32768)
    floor (13353.5)     		tx = 13353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116043090820312 × 215)
    floor (0.116043090820312 × 32768)
    floor (3802.5)     		ty = 3802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13353 / 3802 ti = "15/13353/3802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13353/3802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13353 ÷ 215
    13353 ÷ 32768     		x = 0.407501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3802 ÷ 215
    3802 ÷ 32768     		y = 0.11602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407501220703125 × 2 - 1) × π
    -0.18499755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58118697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11602783203125 × 2 - 1) × π
    0.7679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41256828407819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58118697} λ = -0.58118697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41256828407819))-π/2
    2×atan(11.162593071924)-π/2
    2×1.48144991335926-π/2
    2.96289982671852-1.57079632675     		φ = 1.39210350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58118697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.299560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39210350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.761655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13353 KachelY 3802 -0.58118697 1.39210350 -33.299560 79.761655
    Oben rechts KachelX + 1 13354 KachelY 3802 -0.58099522 1.39210350 -33.288574 79.761655
    Unten links KachelX 13353 KachelY + 1 3803 -0.58118697 1.39206941 -33.299560 79.759702
    Unten rechts KachelX + 1 13354 KachelY + 1 3803 -0.58099522 1.39206941 -33.288574 79.759702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39210350-1.39206941) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dl = 217.187389999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39210350-1.39206941) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dr = 217.187389999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58118697--0.58099522) × cos(1.39210350) × R
    0.000191749999999935 × 0.177743366724794 × 6371000     		do = 217.138273218079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58118697--0.58099522) × cos(1.39206941) × R
    0.000191749999999935 × 0.177776913802171 × 6371000     		du = 217.179255644525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39210350)-sin(1.39206941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177743366724794-0.177776913802171)×R²
    abs(-0.58099522--0.58118697)×3.35470773763502e-05×R²
    0.000191749999999935×3.35470773763502e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.35470773763502e-05×40589641000000     		ar = 47164.1452667852m²