Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13348 / 21539
↖ ↑ ↗
← S 49.174522°
W 33.354492°		 ← 798.66 m → S 49.174522°
W 33.343506°		 →
↑
798.60 m
↓
↑
798.60 m
↓
S 49.181704°
W 33.354492°		 ← 798.54 m →
637 764 m²		 S 49.181704°
W 33.343506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407363891601562 y=0.657333374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407363891601562 × 215)
    floor (0.407363891601562 × 32768)
    floor (13348.5)     		tx = 13348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657333374023438 × 215)
    floor (0.657333374023438 × 32768)
    floor (21539.5)     		ty = 21539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13348 / 21539 ti = "15/13348/21539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13348/21539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13348 ÷ 215
    13348 ÷ 32768     		x = 0.4073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21539 ÷ 215
    21539 ÷ 32768     		y = 0.657318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657318115234375 × 2 - 1) × π
    -0.31463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.988458870165558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58214571} λ = -0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988458870165558))-π/2
    2×atan(0.372149780435532)-π/2
    2×0.356269509115141-π/2
    0.712539018230283-1.57079632675     		φ = -0.85825731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85825731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.174522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13348 KachelY 21539 -0.58214571 -0.85825731 -33.354492 -49.174522
    Oben rechts KachelX + 1 13349 KachelY 21539 -0.58195396 -0.85825731 -33.343506 -49.174522
    Unten links KachelX 13348 KachelY + 1 21540 -0.58214571 -0.85838266 -33.354492 -49.181704
    Unten rechts KachelX + 1 13349 KachelY + 1 21540 -0.58195396 -0.85838266 -33.343506 -49.181704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85825731--0.85838266) × R
    0.000125349999999913 × 6371000     		dl = 798.604849999446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85825731--0.85838266) × R
    0.000125349999999913 × 6371000     		dr = 798.604849999446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58214571--0.58195396) × cos(-0.85825731) × R
    0.000191750000000046 × 0.653757161435756 × 6371000     		do = 798.655408378698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58214571--0.58195396) × cos(-0.85838266) × R
    0.000191750000000046 × 0.653662303401283 × 6371000     		du = 798.539526080608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85825731)-sin(-0.85838266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653757161435756-0.653662303401283)×R²
    abs(-0.58195396--0.58214571)×9.48580344729555e-05×R²
    0.000191750000000046×9.48580344729555e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.48580344729555e-05×40589641000000     		ar = 637763.811361808m²