Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13347 / 21541
↖ ↑ ↗
← S 49.188884°
W 33.365479°		 ← 798.42 m → S 49.188884°
W 33.354492°		 →
↑
798.41 m
↓
↑
798.41 m
↓
S 49.196064°
W 33.365479°		 ← 798.31 m →
637 426 m²		 S 49.196064°
W 33.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407333374023438 y=0.657394409179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407333374023438 × 215)
    floor (0.407333374023438 × 32768)
    floor (13347.5)     		tx = 13347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657394409179688 × 215)
    floor (0.657394409179688 × 32768)
    floor (21541.5)     		ty = 21541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13347 / 21541 ti = "15/13347/21541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13347/21541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13347 ÷ 215
    13347 ÷ 32768     		x = 0.407318115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21541 ÷ 215
    21541 ÷ 32768     		y = 0.657379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407318115234375 × 2 - 1) × π
    -0.18536376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58233746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.31475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.988842365362518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58233746} λ = -0.58233746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988842365362518))-π/2
    2×atan(0.372007090144454)-π/2
    2×0.356144170937531-π/2
    0.712288341875062-1.57079632675     		φ = -0.85850798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58233746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.365479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85850798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.188884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13347 KachelY 21541 -0.58233746 -0.85850798 -33.365479 -49.188884
    Oben rechts KachelX + 1 13348 KachelY 21541 -0.58214571 -0.85850798 -33.354492 -49.188884
    Unten links KachelX 13347 KachelY + 1 21542 -0.58233746 -0.85863330 -33.365479 -49.196064
    Unten rechts KachelX + 1 13348 KachelY + 1 21542 -0.58214571 -0.85863330 -33.354492 -49.196064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85850798--0.85863330) × R
    0.000125320000000095 × 6371000     		dl = 798.413720000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85850798--0.85863330) × R
    0.000125320000000095 × 6371000     		dr = 798.413720000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58233746--0.58214571) × cos(-0.85850798) × R
    0.000191749999999935 × 0.65356745780211 × 6371000     		do = 798.423658973505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58233746--0.58214571) × cos(-0.85863330) × R
    0.000191749999999935 × 0.653472601938592 × 6371000     		du = 798.30777932754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85850798)-sin(-0.85863330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65356745780211-0.653472601938592)×R²
    abs(-0.58214571--0.58233746)×9.48558635175401e-05×R²
    0.000191749999999935×9.48558635175401e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.48558635175401e-05×40589641000000     		ar = 637426.144582038m²