Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13345 / 25697
↖ ↑ ↗
← S 70.963281°
W 33.387451°		 ← 398.47 m → S 70.963281°
W 33.376465°		 →
↑
398.44 m
↓
↑
398.44 m
↓
S 70.966864°
W 33.387451°		 ← 398.39 m →
158 752 m²		 S 70.966864°
W 33.376465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407272338867188 y=0.784225463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407272338867188 × 215)
    floor (0.407272338867188 × 32768)
    floor (13345.5)     		tx = 13345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784225463867188 × 215)
    floor (0.784225463867188 × 32768)
    floor (25697.5)     		ty = 25697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13345 / 25697 ti = "15/13345/25697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13345/25697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13345 ÷ 215
    13345 ÷ 32768     		x = 0.407257080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25697 ÷ 215
    25697 ÷ 32768     		y = 0.784210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407257080078125 × 2 - 1) × π
    -0.18548583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58272095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784210205078125 × 2 - 1) × π
    -0.56842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78574538464633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58272095} λ = -0.58272095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78574538464633))-π/2
    2×atan(0.167672034249516)-π/2
    2×0.166126713137055-π/2
    0.33225342627411-1.57079632675     		φ = -1.23854290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58272095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.387451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23854290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.963281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13345 KachelY 25697 -0.58272095 -1.23854290 -33.387451 -70.963281
    Oben rechts KachelX + 1 13346 KachelY 25697 -0.58252920 -1.23854290 -33.376465 -70.963281
    Unten links KachelX 13345 KachelY + 1 25698 -0.58272095 -1.23860544 -33.387451 -70.966864
    Unten rechts KachelX + 1 13346 KachelY + 1 25698 -0.58252920 -1.23860544 -33.376465 -70.966864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23854290--1.23860544) × R
    6.25400000000553e-05 × 6371000     		dl = 398.442340000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23854290--1.23860544) × R
    6.25400000000553e-05 × 6371000     		dr = 398.442340000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58272095--0.58252920) × cos(-1.23854290) × R
    0.000191750000000046 × 0.326174041022726 × 6371000     		do = 398.467010844569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58272095--0.58252920) × cos(-1.23860544) × R
    0.000191750000000046 × 0.326114920714068 × 6371000     		du = 398.394787155039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23854290)-sin(-1.23860544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326174041022726-0.326114920714068)×R²
    abs(-0.58252920--0.58272095)×5.91203086587333e-05×R²
    0.000191750000000046×5.91203086587333e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.91203086587333e-05×40589641000000     		ar = 158751.739777214m²