Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13345 / 12575
↖ ↑ ↗
← S 68.903097°
E113.225098°		 ← 879.45 m → S 68.903097°
E113.247071°		 →
↑
879.33 m
↓
↑
879.33 m
↓
S 68.911005°
E113.225098°		 ← 879.13 m →
773 184 m²		 S 68.911005°
E113.247071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814544677734375 y=0.767547607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814544677734375 × 214)
    floor (0.814544677734375 × 16384)
    floor (13345.5)     		tx = 13345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767547607421875 × 214)
    floor (0.767547607421875 × 16384)
    floor (12575.5)     		ty = 12575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13345 / 12575 ti = "14/13345/12575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13345/12575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13345 ÷ 214
    13345 ÷ 16384     		x = 0.81451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12575 ÷ 214
    12575 ÷ 16384     		y = 0.76751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81451416015625 × 2 - 1) × π
    0.6290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.97615075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.5350341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68085944827765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97615075} λ = 1.97615075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68085944827765))-π/2
    2×atan(0.186213866059683)-π/2
    2×0.184105207206115-π/2
    0.368210414412229-1.57079632675     		φ = -1.20258591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97615075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.225098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20258591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.903097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13345 KachelY 12575 1.97615075 -1.20258591 113.225098 -68.903097
    Oben rechts KachelX + 1 13346 KachelY 12575 1.97653425 -1.20258591 113.247071 -68.903097
    Unten links KachelX 13345 KachelY + 1 12576 1.97615075 -1.20272393 113.225098 -68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 13346 KachelY + 1 12576 1.97653425 -1.20272393 113.247071 -68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20258591--1.20272393) × R
    0.000138020000000072 × 6371000     		dl = 879.325420000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20258591--1.20272393) × R
    0.000138020000000072 × 6371000     		dr = 879.325420000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97615075-1.97653425) × cos(-1.20258591) × R
    0.000383500000000092 × 0.359946376440095 × 6371000     		do = 879.449242709201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97615075-1.97653425) × cos(-1.20272393) × R
    0.000383500000000092 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 879.13461596935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20258591)-sin(-1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359946376440095-0.359817604079576)×R²
    abs(1.97653425-1.97615075)×0.000128772360519058×R²
    0.000383500000000092×0.000128772360519058×6371000²
    0.000383500000000092×0.000128772360519058×40589641000000     		ar = 773183.746296235m²