Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13344 / 25696
↖ ↑ ↗
← S 70.959697°
W 33.398438°		 ← 398.54 m → S 70.959697°
W 33.387451°		 →
↑
398.51 m
↓
↑
398.51 m
↓
S 70.963281°
W 33.398438°		 ← 398.47 m →
158 806 m²		 S 70.963281°
W 33.387451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407241821289062 y=0.784194946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407241821289062 × 215)
    floor (0.407241821289062 × 32768)
    floor (13344.5)     		tx = 13344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784194946289062 × 215)
    floor (0.784194946289062 × 32768)
    floor (25696.5)     		ty = 25696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13344 / 25696 ti = "15/13344/25696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13344/25696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13344 ÷ 215
    13344 ÷ 32768     		x = 0.4072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25696 ÷ 215
    25696 ÷ 32768     		y = 0.7841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7841796875 × 2 - 1) × π
    -0.568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78555363704785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58291270} λ = -0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78555363704785))-π/2
    2×atan(0.167704188042023)-π/2
    2×0.166157987515839-π/2
    0.332315975031677-1.57079632675     		φ = -1.23848035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23848035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.959697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13344 KachelY 25696 -0.58291270 -1.23848035 -33.398438 -70.959697
    Oben rechts KachelX + 1 13345 KachelY 25696 -0.58272095 -1.23848035 -33.387451 -70.959697
    Unten links KachelX 13344 KachelY + 1 25697 -0.58291270 -1.23854290 -33.398438 -70.963281
    Unten rechts KachelX + 1 13345 KachelY + 1 25697 -0.58272095 -1.23854290 -33.387451 -70.963281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23848035--1.23854290) × R
    6.25499999999946e-05 × 6371000     		dl = 398.506049999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23848035--1.23854290) × R
    6.25499999999946e-05 × 6371000     		dr = 398.506049999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58291270--0.58272095) × cos(-1.23848035) × R
    0.000191749999999935 × 0.32623316950853 × 6371000     		do = 398.539244523388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58291270--0.58272095) × cos(-1.23854290) × R
    0.000191749999999935 × 0.326174041022726 × 6371000     		du = 398.467010844338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23848035)-sin(-1.23854290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32623316950853-0.326174041022726)×R²
    abs(-0.58272095--0.58291270)×5.91284858032504e-05×R²
    0.000191749999999935×5.91284858032504e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.91284858032504e-05×40589641000000     		ar = 158805.90737808m²