Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13344 / 25633
↖ ↑ ↗
← S 70.732605°
W 33.398438°		 ← 403.11 m → S 70.732605°
W 33.387451°		 →
↑
403.03 m
↓
↑
403.03 m
↓
S 70.736230°
W 33.398438°		 ← 403.04 m →
162 452 m²		 S 70.736230°
W 33.387451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407241821289062 y=0.782272338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407241821289062 × 215)
    floor (0.407241821289062 × 32768)
    floor (13344.5)     		tx = 13344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782272338867188 × 215)
    floor (0.782272338867188 × 32768)
    floor (25633.5)     		ty = 25633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13344 / 25633 ti = "15/13344/25633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13344/25633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13344 ÷ 215
    13344 ÷ 32768     		x = 0.4072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25633 ÷ 215
    25633 ÷ 32768     		y = 0.782257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782257080078125 × 2 - 1) × π
    -0.56451416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7734735383436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58291270} λ = -0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7734735383436))-π/2
    2×atan(0.169742357042471)-π/2
    2×0.168139740274921-π/2
    0.336279480549841-1.57079632675     		φ = -1.23451685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23451685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.732605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13344 KachelY 25633 -0.58291270 -1.23451685 -33.398438 -70.732605
    Oben rechts KachelX + 1 13345 KachelY 25633 -0.58272095 -1.23451685 -33.387451 -70.732605
    Unten links KachelX 13344 KachelY + 1 25634 -0.58291270 -1.23458011 -33.398438 -70.736230
    Unten rechts KachelX + 1 13345 KachelY + 1 25634 -0.58272095 -1.23458011 -33.387451 -70.736230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23451685--1.23458011) × R
    6.32599999998984e-05 × 6371000     		dl = 403.029459999353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23451685--1.23458011) × R
    6.32599999998984e-05 × 6371000     		dr = 403.029459999353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58291270--0.58272095) × cos(-1.23451685) × R
    0.000191749999999935 × 0.329977251512714 × 6371000     		do = 403.113162054916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58291270--0.58272095) × cos(-1.23458011) × R
    0.000191749999999935 × 0.329917534115683 × 6371000     		du = 403.040208938796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23451685)-sin(-1.23458011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329977251512714-0.329917534115683)×R²
    abs(-0.58272095--0.58291270)×5.97173970303122e-05×R²
    0.000191749999999935×5.97173970303122e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.97173970303122e-05×40589641000000     		ar = 162451.778948534m²