Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13343 / 25695
↖ ↑ ↗
← S 70.956113°
W 33.409424°		 ← 398.61 m → S 70.956113°
W 33.398438°		 →
↑
398.57 m
↓
↑
398.57 m
↓
S 70.959697°
W 33.409424°		 ← 398.54 m →
158 860 m²		 S 70.959697°
W 33.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407211303710938 y=0.784164428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407211303710938 × 215)
    floor (0.407211303710938 × 32768)
    floor (13343.5)     		tx = 13343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784164428710938 × 215)
    floor (0.784164428710938 × 32768)
    floor (25695.5)     		ty = 25695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13343 / 25695 ti = "15/13343/25695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13343/25695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13343 ÷ 215
    13343 ÷ 32768     		x = 0.407196044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25695 ÷ 215
    25695 ÷ 32768     		y = 0.784149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407196044921875 × 2 - 1) × π
    -0.18560791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58310445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.56829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78536188944937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58310445} λ = -0.58310445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78536188944937))-π/2
    2×atan(0.167736348000534)-π/2
    2×0.166189267563835-π/2
    0.33237853512767-1.57079632675     		φ = -1.23841779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58310445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.409424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23841779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.956113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13343 KachelY 25695 -0.58310445 -1.23841779 -33.409424 -70.956113
    Oben rechts KachelX + 1 13344 KachelY 25695 -0.58291270 -1.23841779 -33.398438 -70.956113
    Unten links KachelX 13343 KachelY + 1 25696 -0.58310445 -1.23848035 -33.409424 -70.959697
    Unten rechts KachelX + 1 13344 KachelY + 1 25696 -0.58291270 -1.23848035 -33.398438 -70.959697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23841779--1.23848035) × R
    6.25599999999338e-05 × 6371000     		dl = 398.569759999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23841779--1.23848035) × R
    6.25599999999338e-05 × 6371000     		dr = 398.569759999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58310445--0.58291270) × cos(-1.23841779) × R
    0.000191750000000046 × 0.326292306170634 × 6371000     		do = 398.611488191159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58310445--0.58291270) × cos(-1.23848035) × R
    0.000191750000000046 × 0.32623316950853 × 6371000     		du = 398.539244523619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23841779)-sin(-1.23848035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326292306170634-0.32623316950853)×R²
    abs(-0.58291270--0.58310445)×5.91366621042755e-05×R²
    0.000191750000000046×5.91366621042755e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.91366621042755e-05×40589641000000     		ar = 158860.088162607m²