Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13343 / 12573
↖ ↑ ↗
← S 68.887274°
E113.181152°		 ← 880.06 m → S 68.887274°
E113.203125°		 →
↑
879.90 m
↓
↑
879.90 m
↓
S 68.895187°
E113.181152°		 ← 879.74 m →
774 222 m²		 S 68.895187°
E113.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814422607421875 y=0.767425537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814422607421875 × 214)
    floor (0.814422607421875 × 16384)
    floor (13343.5)     		tx = 13343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767425537109375 × 214)
    floor (0.767425537109375 × 16384)
    floor (12573.5)     		ty = 12573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13343 / 12573 ti = "14/13343/12573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13343/12573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13343 ÷ 214
    13343 ÷ 16384     		x = 0.81439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12573 ÷ 214
    12573 ÷ 16384     		y = 0.76739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81439208984375 × 2 - 1) × π
    0.6287841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97538376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.5347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68009245788373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97538376} λ = 1.97538376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68009245788373))-π/2
    2×atan(0.186356745092584)-π/2
    2×0.18424329431042-π/2
    0.36848658862084-1.57079632675     		φ = -1.20230974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97538376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20230974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.887274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13343 KachelY 12573 1.97538376 -1.20230974 113.181152 -68.887274
    Oben rechts KachelX + 1 13344 KachelY 12573 1.97576725 -1.20230974 113.203125 -68.887274
    Unten links KachelX 13343 KachelY + 1 12574 1.97538376 -1.20244785 113.181152 -68.895187
    Unten rechts KachelX + 1 13344 KachelY + 1 12574 1.97576725 -1.20244785 113.203125 -68.895187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20230974--1.20244785) × R
    0.000138109999999969 × 6371000     		dl = 879.898809999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20230974--1.20244785) × R
    0.000138109999999969 × 6371000     		dr = 879.898809999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97538376-1.97576725) × cos(-1.20230974) × R
    0.000383490000000153 × 0.360204021861827 × 6371000     		do = 880.05579363065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97538376-1.97576725) × cos(-1.20244785) × R
    0.000383490000000153 × 0.36007517926074 × 6371000     		du = 879.741003482091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20230974)-sin(-1.20244785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360204021861827-0.36007517926074)×R²
    abs(1.97576725-1.97538376)×0.000128842601087253×R²
    0.000383490000000153×0.000128842601087253×6371000²
    0.000383490000000153×0.000128842601087253×40589641000000     		ar = 774221.555041089m²