Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13342 / 12577
↖ ↑ ↗
← S 68.918910°
E113.159179°		 ← 878.82 m → S 68.918910°
E113.181152°		 →
↑
878.62 m
↓
↑
878.62 m
↓
S 68.926811°
E113.159179°		 ← 878.51 m →
772 015 m²		 S 68.926811°
E113.181152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814361572265625 y=0.767669677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814361572265625 × 214)
    floor (0.814361572265625 × 16384)
    floor (13342.5)     		tx = 13342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767669677734375 × 214)
    floor (0.767669677734375 × 16384)
    floor (12577.5)     		ty = 12577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13342 / 12577 ti = "14/13342/12577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13342/12577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13342 ÷ 214
    13342 ÷ 16384     		x = 0.8143310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12577 ÷ 214
    12577 ÷ 16384     		y = 0.76763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8143310546875 × 2 - 1) × π
    0.628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.97500026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.5352783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68162643867157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97500026} λ = 1.97500026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68162643867157))-π/2
    2×atan(0.186071096571612)-π/2
    2×0.183967218879015-π/2
    0.367934437758029-1.57079632675     		φ = -1.20286189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97500026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.159179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20286189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.918910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13342 KachelY 12577 1.97500026 -1.20286189 113.159179 -68.918910
    Oben rechts KachelX + 1 13343 KachelY 12577 1.97538376 -1.20286189 113.181152 -68.918910
    Unten links KachelX 13342 KachelY + 1 12578 1.97500026 -1.20299980 113.159179 -68.926811
    Unten rechts KachelX + 1 13343 KachelY + 1 12578 1.97538376 -1.20299980 113.181152 -68.926811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20286189--1.20299980) × R
    0.000137909999999852 × 6371000     		dl = 878.624609999059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20286189--1.20299980) × R
    0.000137909999999852 × 6371000     		dr = 878.624609999059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97500026-1.97538376) × cos(-1.20286189) × R
    0.00038349999999987 × 0.359688880849042 × 6371000     		do = 878.820109267229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97500026-1.97538376) × cos(-1.20299980) × R
    0.00038349999999987 × 0.359560197428659 × 6371000     		du = 878.505699832901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20286189)-sin(-1.20299980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359688880849042-0.359560197428659)×R²
    abs(1.97538376-1.97500026)×0.000128683420382913×R²
    0.00038349999999987×0.000128683420382913×6371000²
    0.00038349999999987×0.000128683420382913×40589641000000     		ar = 772014.853054624m²