Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1334 / 728
↖ ↑ ↗
← N 81.361287°
W121.376953°		 ← 733.97 m → N 81.361287°
W121.333008°		 →
↑
734.26 m
↓
↑
734.26 m
↓
N 81.354684°
W121.376953°		 ← 734.52 m →
539 126 m²		 N 81.354684°
W121.333008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16290283203125 y=0.08892822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16290283203125 × 213)
    floor (0.16290283203125 × 8192)
    floor (1334.5)     		tx = 1334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08892822265625 × 213)
    floor (0.08892822265625 × 8192)
    floor (728.5)     		ty = 728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1334 / 728 ti = "13/1334/728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1334/728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1334 ÷ 213
    1334 ÷ 8192     		x = 0.162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 728 ÷ 213
    728 ÷ 8192     		y = 0.0888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.67431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11842747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0888671875 × 2 - 1) × π
    0.822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58322364672559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11842747} λ = -2.11842747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58322364672559))-π/2
    2×atan(13.2397497162751)-π/2
    2×1.49540933657084-π/2
    2.99081867314168-1.57079632675     		φ = 1.42002235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11842747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.376953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42002235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.361287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1334 KachelY 728 -2.11842747 1.42002235 -121.376953 81.361287
    Oben rechts KachelX + 1 1335 KachelY 728 -2.11766048 1.42002235 -121.333008 81.361287
    Unten links KachelX 1334 KachelY + 1 729 -2.11842747 1.41990710 -121.376953 81.354684
    Unten rechts KachelX + 1 1335 KachelY + 1 729 -2.11766048 1.41990710 -121.333008 81.354684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42002235-1.41990710) × R
    0.0001152499999999 × 6371000     		dl = 734.257749999364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42002235-1.41990710) × R
    0.0001152499999999 × 6371000     		dr = 734.257749999364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11842747--2.11766048) × cos(1.42002235) × R
    0.000766989999999801 × 0.150203373507267 × 6371000     		do = 733.967776778435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11842747--2.11766048) × cos(1.41990710) × R
    0.000766989999999801 × 0.150317315012069 × 6371000     		du = 734.5245511771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42002235)-sin(1.41990710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150203373507267-0.150317315012069)×R²
    abs(-2.11766048--2.11842747)×0.000113941504801401×R²
    0.000766989999999801×0.000113941504801401×6371000²
    0.000766989999999801×0.000113941504801401×40589641000000     		ar = 539125.936903001m²