Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13339 / 5691
↖ ↑ ↗
← N 48.063397°
E113.093262°		 ← 1 632.82 m → N 48.063397°
E113.115234°		 →
↑
1 633.08 m
↓
↑
1 633.08 m
↓
N 48.048710°
E113.093262°		 ← 1 633.29 m →
2 666 903 m²		 N 48.048710°
E113.115234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814178466796875 y=0.347381591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814178466796875 × 214)
    floor (0.814178466796875 × 16384)
    floor (13339.5)     		tx = 13339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347381591796875 × 214)
    floor (0.347381591796875 × 16384)
    floor (5691.5)     		ty = 5691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13339 / 5691 ti = "14/13339/5691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13339/5691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13339 ÷ 214
    13339 ÷ 16384     		x = 0.81414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5691 ÷ 214
    5691 ÷ 16384     		y = 0.34735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81414794921875 × 2 - 1) × π
    0.6282958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.97384978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34735107421875 × 2 - 1) × π
    0.3052978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.959121487598083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97384978} λ = 1.97384978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959121487598083))-π/2
    2×atan(2.60940307321894)-π/2
    2×1.20483042302608-π/2
    2.40966084605217-1.57079632675     		φ = 0.83886452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97384978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83886452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.063397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13339 KachelY 5691 1.97384978 0.83886452 113.093262 48.063397
    Oben rechts KachelX + 1 13340 KachelY 5691 1.97423327 0.83886452 113.115234 48.063397
    Unten links KachelX 13339 KachelY + 1 5692 1.97384978 0.83860819 113.093262 48.048710
    Unten rechts KachelX + 1 13340 KachelY + 1 5692 1.97423327 0.83860819 113.115234 48.048710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83886452-0.83860819) × R
    0.000256330000000027 × 6371000     		dl = 1633.07843000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83886452-0.83860819) × R
    0.000256330000000027 × 6371000     		dr = 1633.07843000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97384978-1.97423327) × cos(0.83886452) × R
    0.000383489999999931 × 0.668307922744667 × 6371000     		do = 1632.81980112365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97384978-1.97423327) × cos(0.83860819) × R
    0.000383489999999931 × 0.668498580764785 × 6371000     		du = 1633.28561961824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83886452)-sin(0.83860819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668307922744667-0.668498580764785)×R²
    abs(1.97423327-1.97384978)×0.000190658020117862×R²
    0.000383489999999931×0.000190658020117862×6371000²
    0.000383489999999931×0.000190658020117862×40589641000000     		ar = 2666903.17096299m²