Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13338 / 23566
↖ ↑ ↗
← S 61.679450°
W 33.464355°		 ← 579.52 m → S 61.679450°
W 33.453369°		 →
↑
579.51 m
↓
↑
579.51 m
↓
S 61.684661°
W 33.464355°		 ← 579.42 m →
335 807 m²		 S 61.684661°
W 33.453369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407058715820312 y=0.719192504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407058715820312 × 215)
    floor (0.407058715820312 × 32768)
    floor (13338.5)     		tx = 13338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719192504882812 × 215)
    floor (0.719192504882812 × 32768)
    floor (23566.5)     		ty = 23566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13338 / 23566 ti = "15/13338/23566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13338/23566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13338 ÷ 215
    13338 ÷ 32768     		x = 0.40704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23566 ÷ 215
    23566 ÷ 32768     		y = 0.71917724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40704345703125 × 2 - 1) × π
    -0.1859130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58406318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71917724609375 × 2 - 1) × π
    -0.4383544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37713125228497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58406318} λ = -0.58406318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37713125228497))-π/2
    2×atan(0.252301304659326)-π/2
    2×0.247143421359804-π/2
    0.494286842719608-1.57079632675     		φ = -1.07650948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58406318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.464355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07650948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.679450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13338 KachelY 23566 -0.58406318 -1.07650948 -33.464355 -61.679450
    Oben rechts KachelX + 1 13339 KachelY 23566 -0.58387144 -1.07650948 -33.453369 -61.679450
    Unten links KachelX 13338 KachelY + 1 23567 -0.58406318 -1.07660044 -33.464355 -61.684661
    Unten rechts KachelX + 1 13339 KachelY + 1 23567 -0.58387144 -1.07660044 -33.453369 -61.684661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07650948--1.07660044) × R
    9.09600000000843e-05 × 6371000     		dl = 579.506160000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07650948--1.07660044) × R
    9.09600000000843e-05 × 6371000     		dr = 579.506160000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58406318--0.58387144) × cos(-1.07650948) × R
    0.000191739999999996 × 0.474403978020761 × 6371000     		do = 579.520295628847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58406318--0.58387144) × cos(-1.07660044) × R
    0.000191739999999996 × 0.474323903310288 × 6371000     		du = 579.42247832116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07650948)-sin(-1.07660044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474403978020761-0.474323903310288)×R²
    abs(-0.58387144--0.58406318)×8.00747104733879e-05×R²
    0.000191739999999996×8.00747104733879e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.00747104733879e-05×40589641000000     		ar = 335807.238527331m²