Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13336 / 25512
↖ ↑ ↗
← S 70.289116°
W 33.486328°		 ← 412.03 m → S 70.289116°
W 33.475342°		 →
↑
412.01 m
↓
↑
412.01 m
↓
S 70.292822°
W 33.486328°		 ← 411.95 m →
169 745 m²		 S 70.292822°
W 33.475342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406997680664062 y=0.778579711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406997680664062 × 215)
    floor (0.406997680664062 × 32768)
    floor (13336.5)     		tx = 13336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778579711914062 × 215)
    floor (0.778579711914062 × 32768)
    floor (25512.5)     		ty = 25512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13336 / 25512 ti = "15/13336/25512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13336/25512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13336 ÷ 215
    13336 ÷ 32768     		x = 0.406982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25512 ÷ 215
    25512 ÷ 32768     		y = 0.778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.18603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58444668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.55712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75027207892749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58444668} λ = -0.58444668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75027207892749))-π/2
    2×atan(0.173726669653679)-π/2
    2×0.172009906533861-π/2
    0.344019813067722-1.57079632675     		φ = -1.22677651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58444668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22677651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.289116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13336 KachelY 25512 -0.58444668 -1.22677651 -33.486328 -70.289116
    Oben rechts KachelX + 1 13337 KachelY 25512 -0.58425493 -1.22677651 -33.475342 -70.289116
    Unten links KachelX 13336 KachelY + 1 25513 -0.58444668 -1.22684118 -33.486328 -70.292822
    Unten rechts KachelX + 1 13337 KachelY + 1 25513 -0.58425493 -1.22684118 -33.475342 -70.292822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22677651--1.22684118) × R
    6.46699999999889e-05 × 6371000     		dl = 412.012569999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22677651--1.22684118) × R
    6.46699999999889e-05 × 6371000     		dr = 412.012569999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58444668--0.58425493) × cos(-1.22677651) × R
    0.000191750000000046 × 0.337274088579359 × 6371000     		do = 412.02726461662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58444668--0.58425493) × cos(-1.22684118) × R
    0.000191750000000046 × 0.337213207116082 × 6371000     		du = 411.952889431485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22677651)-sin(-1.22684118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337274088579359-0.337213207116082)×R²
    abs(-0.58425493--0.58444668)×6.08814632763743e-05×R²
    0.000191750000000046×6.08814632763743e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.08814632763743e-05×40589641000000     		ar = 169745.090507648m²