Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13334 / 5556
↖ ↑ ↗
← N 50.007739°
E112.983398°		 ← 1 570.26 m → N 50.007739°
E113.005371°		 →
↑
1 570.52 m
↓
↑
1 570.52 m
↓
N 49.993615°
E112.983398°		 ← 1 570.72 m →
2 466 474 m²		 N 49.993615°
E113.005371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813873291015625 y=0.339141845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813873291015625 × 214)
    floor (0.813873291015625 × 16384)
    floor (13334.5)     		tx = 13334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339141845703125 × 214)
    floor (0.339141845703125 × 16384)
    floor (5556.5)     		ty = 5556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13334 / 5556 ti = "14/13334/5556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13334/5556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13334 ÷ 214
    13334 ÷ 16384     		x = 0.8138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5556 ÷ 214
    5556 ÷ 16384     		y = 0.339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8138427734375 × 2 - 1) × π
    0.627685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97193230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339111328125 × 2 - 1) × π
    0.32177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01089333918774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97193230} λ = 1.97193230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01089333918774))-π/2
    2×atan(2.74805486389403)-π/2
    2×1.22179801202988-π/2
    2.44359602405977-1.57079632675     		φ = 0.87279970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97193230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.983398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87279970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.007739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13334 KachelY 5556 1.97193230 0.87279970 112.983398 50.007739
    Oben rechts KachelX + 1 13335 KachelY 5556 1.97231580 0.87279970 113.005371 50.007739
    Unten links KachelX 13334 KachelY + 1 5557 1.97193230 0.87255319 112.983398 49.993615
    Unten rechts KachelX + 1 13335 KachelY + 1 5557 1.97231580 0.87255319 113.005371 49.993615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87279970-0.87255319) × R
    0.000246509999999978 × 6371000     		dl = 1570.51520999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87279970-0.87255319) × R
    0.000246509999999978 × 6371000     		dr = 1570.51520999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97193230-1.97231580) × cos(0.87279970) × R
    0.000383500000000092 × 0.642684131133747 × 6371000     		do = 1570.25631989064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97193230-1.97231580) × cos(0.87255319) × R
    0.000383500000000092 × 0.642872970621692 × 6371000     		du = 1570.71770735149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87279970)-sin(0.87255319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642684131133747-0.642872970621692)×R²
    abs(1.97231580-1.97193230)×0.000188839487945236×R²
    0.000383500000000092×0.000188839487945236×6371000²
    0.000383500000000092×0.000188839487945236×40589641000000     		ar = 2466473.75448955m²