Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13333 / 5557
↖ ↑ ↗
← N 49.993615°
E112.961426°		 ← 1 570.68 m → N 49.993615°
E112.983398°		 →
↑
1 570.90 m
↓
↑
1 570.90 m
↓
N 49.979488°
E112.961426°		 ← 1 571.14 m →
2 467 735 m²		 N 49.979488°
E112.983398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813812255859375 y=0.339202880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813812255859375 × 214)
    floor (0.813812255859375 × 16384)
    floor (13333.5)     		tx = 13333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339202880859375 × 214)
    floor (0.339202880859375 × 16384)
    floor (5557.5)     		ty = 5557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13333 / 5557 ti = "14/13333/5557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13333/5557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13333 ÷ 214
    13333 ÷ 16384     		x = 0.81378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5557 ÷ 214
    5557 ÷ 16384     		y = 0.33917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81378173828125 × 2 - 1) × π
    0.6275634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97154881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33917236328125 × 2 - 1) × π
    0.3216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01050984399078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97154881} λ = 1.97154881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01050984399078))-π/2
    2×atan(2.74700120010316)-π/2
    2×1.22167476078681-π/2
    2.44334952157362-1.57079632675     		φ = 0.87255319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97154881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.961426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87255319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.993615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13333 KachelY 5557 1.97154881 0.87255319 112.961426 49.993615
    Oben rechts KachelX + 1 13334 KachelY 5557 1.97193230 0.87255319 112.983398 49.993615
    Unten links KachelX 13333 KachelY + 1 5558 1.97154881 0.87230662 112.961426 49.979488
    Unten rechts KachelX + 1 13334 KachelY + 1 5558 1.97193230 0.87230662 112.983398 49.979488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87255319-0.87230662) × R
    0.000246569999999946 × 6371000     		dl = 1570.89746999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87255319-0.87230662) × R
    0.000246569999999946 × 6371000     		dr = 1570.89746999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97154881-1.97193230) × cos(0.87255319) × R
    0.000383489999999931 × 0.642872970621692 × 6371000     		do = 1570.67674991387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97154881-1.97193230) × cos(0.87230662) × R
    0.000383489999999931 × 0.643061816992917 × 6371000     		du = 1571.13814216109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87255319)-sin(0.87230662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642872970621692-0.643061816992917)×R²
    abs(1.97193230-1.97154881)×0.000188846371225182×R²
    0.000383489999999931×0.000188846371225182×6371000²
    0.000383489999999931×0.000188846371225182×40589641000000     		ar = 2467734.54508587m²