Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13332 / 5558
↖ ↑ ↗
← N 49.979488°
E112.939453°		 ← 1 571.18 m → N 49.979488°
E112.961426°		 →
↑
1 571.41 m
↓
↑
1 571.41 m
↓
N 49.965356°
E112.939453°		 ← 1 571.64 m →
2 469 325 m²		 N 49.965356°
E112.961426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813751220703125 y=0.339263916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813751220703125 × 214)
    floor (0.813751220703125 × 16384)
    floor (13332.5)     		tx = 13332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339263916015625 × 214)
    floor (0.339263916015625 × 16384)
    floor (5558.5)     		ty = 5558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13332 / 5558 ti = "14/13332/5558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13332/5558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13332 ÷ 214
    13332 ÷ 16384     		x = 0.813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5558 ÷ 214
    5558 ÷ 16384     		y = 0.3392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813720703125 × 2 - 1) × π
    0.62744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97116531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3392333984375 × 2 - 1) × π
    0.321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01012634879382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97116531} λ = 1.97116531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01012634879382))-π/2
    2×atan(2.74594794030982)-π/2
    2×1.22155147333375-π/2
    2.4431029466675-1.57079632675     		φ = 0.87230662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97116531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87230662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.979488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13332 KachelY 5558 1.97116531 0.87230662 112.939453 49.979488
    Oben rechts KachelX + 1 13333 KachelY 5558 1.97154881 0.87230662 112.961426 49.979488
    Unten links KachelX 13332 KachelY + 1 5559 1.97116531 0.87205997 112.939453 49.965356
    Unten rechts KachelX + 1 13333 KachelY + 1 5559 1.97154881 0.87205997 112.961426 49.965356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87230662-0.87205997) × R
    0.000246650000000015 × 6371000     		dl = 1571.4071500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87230662-0.87205997) × R
    0.000246650000000015 × 6371000     		dr = 1571.4071500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97116531-1.97154881) × cos(0.87230662) × R
    0.000383500000000092 × 0.643061816992917 × 6371000     		do = 1571.17911163011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97116531-1.97154881) × cos(0.87205997) × R
    0.000383500000000092 × 0.643250685520518 × 6371000     		du = 1571.64057004292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87230662)-sin(0.87205997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643061816992917-0.643250685520518)×R²
    abs(1.97154881-1.97116531)×0.000188868527600472×R²
    0.000383500000000092×0.000188868527600472×6371000²
    0.000383500000000092×0.000188868527600472×40589641000000     		ar = 2469324.67198998m²