Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13331 / 5611
↖ ↑ ↗
← N 49.224773°
E112.917481°		 ← 1 595.65 m → N 49.224773°
E112.939453°		 →
↑
1 595.94 m
↓
↑
1 595.94 m
↓
N 49.210420°
E112.917481°		 ← 1 596.11 m →
2 546 920 m²		 N 49.210420°
E112.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813690185546875 y=0.342498779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813690185546875 × 214)
    floor (0.813690185546875 × 16384)
    floor (13331.5)     		tx = 13331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342498779296875 × 214)
    floor (0.342498779296875 × 16384)
    floor (5611.5)     		ty = 5611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13331 / 5611 ti = "14/13331/5611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13331/5611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13331 ÷ 214
    13331 ÷ 16384     		x = 0.81365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5611 ÷ 214
    5611 ÷ 16384     		y = 0.34246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81365966796875 × 2 - 1) × π
    0.6273193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.97078182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34246826171875 × 2 - 1) × π
    0.3150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.989801103354919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97078182} λ = 1.97078182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989801103354919))-π/2
    2×atan(2.69069924807051)-π/2
    2×1.21496534216754-π/2
    2.42993068433508-1.57079632675     		φ = 0.85913436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97078182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.917481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85913436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.224773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13331 KachelY 5611 1.97078182 0.85913436 112.917481 49.224773
    Oben rechts KachelX + 1 13332 KachelY 5611 1.97116531 0.85913436 112.939453 49.224773
    Unten links KachelX 13331 KachelY + 1 5612 1.97078182 0.85888386 112.917481 49.210420
    Unten rechts KachelX + 1 13332 KachelY + 1 5612 1.97116531 0.85888386 112.939453 49.210420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85913436-0.85888386) × R
    0.000250499999999931 × 6371000     		dl = 1595.93549999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85913436-0.85888386) × R
    0.000250499999999931 × 6371000     		dr = 1595.93549999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97078182-1.97116531) × cos(0.85913436) × R
    0.000383489999999931 × 0.653093242471947 × 6371000     		do = 1595.64706925623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97078182-1.97116531) × cos(0.85888386) × R
    0.000383489999999931 × 0.653282919993597 × 6371000     		du = 1596.11049218246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85913436)-sin(0.85888386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653093242471947-0.653282919993597)×R²
    abs(1.97116531-1.97078182)×0.00018967752165×R²
    0.000383489999999931×0.00018967752165×6371000²
    0.000383489999999931×0.00018967752165×40589641000000     		ar = 2546919.61316443m²