Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13330 / 5610
↖ ↑ ↗
← N 49.239121°
E112.895508°		 ← 1 595.23 m → N 49.239121°
E112.917481°		 →
↑
1 595.43 m
↓
↑
1 595.43 m
↓
N 49.224773°
E112.895508°		 ← 1 595.69 m →
2 545 433 m²		 N 49.224773°
E112.917481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813629150390625 y=0.342437744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813629150390625 × 214)
    floor (0.813629150390625 × 16384)
    floor (13330.5)     		tx = 13330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342437744140625 × 214)
    floor (0.342437744140625 × 16384)
    floor (5610.5)     		ty = 5610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13330 / 5610 ti = "14/13330/5610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13330/5610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13330 ÷ 214
    13330 ÷ 16384     		x = 0.8135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5610 ÷ 214
    5610 ÷ 16384     		y = 0.3424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8135986328125 × 2 - 1) × π
    0.627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97039832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3424072265625 × 2 - 1) × π
    0.315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.99018459855188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97039832} λ = 1.97039832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99018459855188))-π/2
    2×atan(2.69173131619254)-π/2
    2×1.21509055304515-π/2
    2.4301811060903-1.57079632675     		φ = 0.85938478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97039832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.895508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85938478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.239121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13330 KachelY 5610 1.97039832 0.85938478 112.895508 49.239121
    Oben rechts KachelX + 1 13331 KachelY 5610 1.97078182 0.85938478 112.917481 49.239121
    Unten links KachelX 13330 KachelY + 1 5611 1.97039832 0.85913436 112.895508 49.224773
    Unten rechts KachelX + 1 13331 KachelY + 1 5611 1.97078182 0.85913436 112.917481 49.224773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85938478-0.85913436) × R
    0.000250419999999973 × 6371000     		dl = 1595.42581999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85938478-0.85913436) × R
    0.000250419999999973 × 6371000     		dr = 1595.42581999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97039832-1.97078182) × cos(0.85938478) × R
    0.000383500000000092 × 0.652903584563817 × 6371000     		do = 1595.22529073809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97039832-1.97078182) × cos(0.85913436) × R
    0.000383500000000092 × 0.653093242471947 × 6371000     		du = 1595.68867782738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85938478)-sin(0.85913436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652903584563817-0.653093242471947)×R²
    abs(1.97078182-1.97039832)×0.000189657908129859×R²
    0.000383500000000092×0.000189657908129859×6371000²
    0.000383500000000092×0.000189657908129859×40589641000000     		ar = 2545433.28072546m²