Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1333 / 2864
↖ ↑ ↗
← S 58.077876°
W 62.841797°		 ← 5 167.62 m → S 58.077876°
W 62.753906°		 →
↑
5 164.27 m
↓
↑
5 164.27 m
↓
S 58.124319°
W 62.841797°		 ← 5 160.90 m →
26 669 636 m²		 S 58.124319°
W 62.753906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3255615234375 y=0.6993408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3255615234375 × 212)
    floor (0.3255615234375 × 4096)
    floor (1333.5)     		tx = 1333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6993408203125 × 212)
    floor (0.6993408203125 × 4096)
    floor (2864.5)     		ty = 2864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1333 / 2864 ti = "12/1333/2864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1333/2864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1333 ÷ 212
    1333 ÷ 4096     		x = 0.325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2864 ÷ 212
    2864 ÷ 4096     		y = 0.69921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.34912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.09679626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69921875 × 2 - 1) × π
    -0.3984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25172832287891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.09679626} λ = -1.09679626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25172832287891))-π/2
    2×atan(0.286010051727681)-π/2
    2×0.278573081686758-π/2
    0.557146163373516-1.57079632675     		φ = -1.01365016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.09679626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -62.841797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01365016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.077876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1333 KachelY 2864 -1.09679626 -1.01365016 -62.841797 -58.077876
    Oben rechts KachelX + 1 1334 KachelY 2864 -1.09526228 -1.01365016 -62.753906 -58.077876
    Unten links KachelX 1333 KachelY + 1 2865 -1.09679626 -1.01446075 -62.841797 -58.124319
    Unten rechts KachelX + 1 1334 KachelY + 1 2865 -1.09526228 -1.01446075 -62.753906 -58.124319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01365016--1.01446075) × R
    0.000810589999999944 × 6371000     		dl = 5164.26888999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01365016--1.01446075) × R
    0.000810589999999944 × 6371000     		dr = 5164.26888999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.09679626--1.09526228) × cos(-1.01365016) × R
    0.00153398000000005 × 0.528766113348559 × 6371000     		do = 5167.62412971438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.09679626--1.09526228) × cos(-1.01446075) × R
    0.00153398000000005 × 0.5280779372003 × 6371000     		du = 5160.89859345277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01365016)-sin(-1.01446075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528766113348559-0.5280779372003)×R²
    abs(-1.09526228--1.09679626)×0.000688176148258779×R²
    0.00153398000000005×0.000688176148258779×6371000²
    0.00153398000000005×0.000688176148258779×40589641000000     		ar = 26669635.7497441m²