Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1333 / 1965
↖ ↑ ↗
← N 67.925141°
W121.420899°		 ← 1 836.43 m → N 67.925141°
W121.376953°		 →
↑
1 837.08 m
↓
↑
1 837.08 m
↓
N 67.908619°
W121.420899°		 ← 1 837.74 m →
3 374 865 m²		 N 67.908619°
W121.376953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16278076171875 y=0.23992919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16278076171875 × 213)
    floor (0.16278076171875 × 8192)
    floor (1333.5)     		tx = 1333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23992919921875 × 213)
    floor (0.23992919921875 × 8192)
    floor (1965.5)     		ty = 1965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1333 / 1965 ti = "13/1333/1965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1333/1965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1333 ÷ 213
    1333 ÷ 8192     		x = 0.1627197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1965 ÷ 213
    1965 ÷ 8192     		y = 0.2398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1627197265625 × 2 - 1) × π
    -0.674560546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11919446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2398681640625 × 2 - 1) × π
    0.520263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.63445652944543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11919446} λ = -2.11919446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63445652944543))-π/2
    2×atan(5.12667104502667)-π/2
    2×1.37815683649939-π/2
    2.75631367299879-1.57079632675     		φ = 1.18551735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11919446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.420899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18551735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.925141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1333 KachelY 1965 -2.11919446 1.18551735 -121.420899 67.925141
    Oben rechts KachelX + 1 1334 KachelY 1965 -2.11842747 1.18551735 -121.376953 67.925141
    Unten links KachelX 1333 KachelY + 1 1966 -2.11919446 1.18522900 -121.420899 67.908619
    Unten rechts KachelX + 1 1334 KachelY + 1 1966 -2.11842747 1.18522900 -121.376953 67.908619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18551735-1.18522900) × R
    0.000288349999999937 × 6371000     		dl = 1837.0778499996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18551735-1.18522900) × R
    0.000288349999999937 × 6371000     		dr = 1837.0778499996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11919446--2.11842747) × cos(1.18551735) × R
    0.000766990000000245 × 0.375817677385892 × 6371000     		do = 1836.43055881013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11919446--2.11842747) × cos(1.18522900) × R
    0.000766990000000245 × 0.376084873864947 × 6371000     		du = 1837.73621261215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18551735)-sin(1.18522900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375817677385892-0.376084873864947)×R²
    abs(-2.11842747--2.11919446)×0.000267196479055043×R²
    0.000766990000000245×0.000267196479055043×6371000²
    0.000766990000000245×0.000267196479055043×40589641000000     		ar = 3374865.21987693m²