Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1333 / 1511
↖ ↑ ↗
← S 64.699105°
E 54.316406°		 ← 8 353.40 m → S 64.699105°
E 54.492188°		 →
↑
8 341.87 m
↓
↑
8 341.87 m
↓
S 64.774125°
E 54.316406°		 ← 8 330.26 m →
69 586 453 m²		 S 64.774125°
E 54.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651123046875 y=0.738037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651123046875 × 211)
    floor (0.651123046875 × 2048)
    floor (1333.5)     		tx = 1333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738037109375 × 211)
    floor (0.738037109375 × 2048)
    floor (1511.5)     		ty = 1511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1333 / 1511 ti = "11/1333/1511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1333/1511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1333 ÷ 211
    1333 ÷ 2048     		x = 0.65087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1511 ÷ 211
    1511 ÷ 2048     		y = 0.73779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65087890625 × 2 - 1) × π
    0.3017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94800013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73779296875 × 2 - 1) × π
    -0.4755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49409728735791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94800013} λ = 0.94800013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49409728735791))-π/2
    2×atan(0.224451128177482)-π/2
    2×0.220791956877217-π/2
    0.441583913754434-1.57079632675     		φ = -1.12921241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94800013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12921241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.699105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1333 KachelY 1511 0.94800013 -1.12921241 54.316406 -64.699105
    Oben rechts KachelX + 1 1334 KachelY 1511 0.95106809 -1.12921241 54.492188 -64.699105
    Unten links KachelX 1333 KachelY + 1 1512 0.94800013 -1.13052176 54.316406 -64.774125
    Unten rechts KachelX + 1 1334 KachelY + 1 1512 0.95106809 -1.13052176 54.492188 -64.774125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12921241--1.13052176) × R
    0.00130934999999988 × 6371000     		dl = 8341.86884999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12921241--1.13052176) × R
    0.00130934999999988 × 6371000     		dr = 8341.86884999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94800013-0.95106809) × cos(-1.12921241) × R
    0.00306795999999998 × 0.427371981524642 × 6371000     		do = 8353.40128021662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94800013-0.95106809) × cos(-1.13052176) × R
    0.00306795999999998 × 0.426187863772093 × 6371000     		du = 8330.25654640702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12921241)-sin(-1.13052176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427371981524642-0.426187863772093)×R²
    abs(0.95106809-0.94800013)×0.00118411775254906×R²
    0.00306795999999998×0.00118411775254906×6371000²
    0.00306795999999998×0.00118411775254906×40589641000000     		ar = 69586452.7055473m²