Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13328 / 23535
↖ ↑ ↗
← S 61.517456°
W 33.574219°		 ← 582.59 m → S 61.517456°
W 33.563232°		 →
↑
582.50 m
↓
↑
582.50 m
↓
S 61.522695°
W 33.574219°		 ← 582.49 m →
339 330 m²		 S 61.522695°
W 33.563232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406753540039062 y=0.718246459960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406753540039062 × 215)
    floor (0.406753540039062 × 32768)
    floor (13328.5)     		tx = 13328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718246459960938 × 215)
    floor (0.718246459960938 × 32768)
    floor (23535.5)     		ty = 23535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13328 / 23535 ti = "15/13328/23535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13328/23535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13328 ÷ 215
    13328 ÷ 32768     		x = 0.40673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23535 ÷ 215
    23535 ÷ 32768     		y = 0.718231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40673828125 × 2 - 1) × π
    -0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718231201171875 × 2 - 1) × π
    -0.43646240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37118707673209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58598066} λ = -0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37118707673209))-π/2
    2×atan(0.253805494060391)-π/2
    2×0.248557085151511-π/2
    0.497114170303022-1.57079632675     		φ = -1.07368216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07368216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.517456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13328 KachelY 23535 -0.58598066 -1.07368216 -33.574219 -61.517456
    Oben rechts KachelX + 1 13329 KachelY 23535 -0.58578891 -1.07368216 -33.563232 -61.517456
    Unten links KachelX 13328 KachelY + 1 23536 -0.58598066 -1.07377359 -33.574219 -61.522695
    Unten rechts KachelX + 1 13329 KachelY + 1 23536 -0.58578891 -1.07377359 -33.563232 -61.522695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07368216--1.07377359) × R
    9.14300000001145e-05 × 6371000     		dl = 582.500530000729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07368216--1.07377359) × R
    9.14300000001145e-05 × 6371000     		dr = 582.500530000729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58598066--0.58578891) × cos(-1.07368216) × R
    0.000191750000000046 × 0.476890988887545 × 6371000     		do = 582.588749996479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58598066--0.58578891) × cos(-1.07377359) × R
    0.000191750000000046 × 0.476810623357779 × 6371000     		du = 582.490572310969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07368216)-sin(-1.07377359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476890988887545-0.476810623357779)×R²
    abs(-0.58578891--0.58598066)×8.03655297664241e-05×R²
    0.000191750000000046×8.03655297664241e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.03655297664241e-05×40589641000000     		ar = 339329.661604593m²