Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13322 / 5598
↖ ↑ ↗
← N 49.410973°
E112.719727°		 ← 1 589.67 m → N 49.410973°
E112.741699°		 →
↑
1 589.88 m
↓
↑
1 589.88 m
↓
N 49.396675°
E112.719727°		 ← 1 590.13 m →
2 527 753 m²		 N 49.396675°
E112.741699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813140869140625 y=0.341705322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813140869140625 × 214)
    floor (0.813140869140625 × 16384)
    floor (13322.5)     		tx = 13322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341705322265625 × 214)
    floor (0.341705322265625 × 16384)
    floor (5598.5)     		ty = 5598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13322 / 5598 ti = "14/13322/5598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13322/5598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13322 ÷ 214
    13322 ÷ 16384     		x = 0.8131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5598 ÷ 214
    5598 ÷ 16384     		y = 0.3416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8131103515625 × 2 - 1) × π
    0.626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96733036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3416748046875 × 2 - 1) × π
    0.316650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.994786540915405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96733036} λ = 1.96733036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994786540915405))-π/2
    2×atan(2.70414705491318)-π/2
    2×1.21659024786288-π/2
    2.43318049572577-1.57079632675     		φ = 0.86238417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96733036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.719727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86238417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.410973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13322 KachelY 5598 1.96733036 0.86238417 112.719727 49.410973
    Oben rechts KachelX + 1 13323 KachelY 5598 1.96771386 0.86238417 112.741699 49.410973
    Unten links KachelX 13322 KachelY + 1 5599 1.96733036 0.86213462 112.719727 49.396675
    Unten rechts KachelX + 1 13323 KachelY + 1 5599 1.96771386 0.86213462 112.741699 49.396675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86238417-0.86213462) × R
    0.000249550000000043 × 6371000     		dl = 1589.88305000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86238417-0.86213462) × R
    0.000249550000000043 × 6371000     		dr = 1589.88305000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96733036-1.96771386) × cos(0.86238417) × R
    0.00038349999999987 × 0.650628790059247 × 6371000     		do = 1589.66733423223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96733036-1.96771386) × cos(0.86213462) × R
    0.00038349999999987 × 0.650818277052435 × 6371000     		du = 1590.13030372872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86238417)-sin(0.86213462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650628790059247-0.650818277052435)×R²
    abs(1.96771386-1.96733036)×0.000189486993187993×R²
    0.00038349999999987×0.000189486993187993×6371000²
    0.00038349999999987×0.000189486993187993×40589641000000     		ar = 2527753.19662949m²