Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13320 / 6600
↖ ↑ ↗
← N 32.990235°
E112.675781°		 ← 2 049.33 m → N 32.990235°
E112.697754°		 →
↑
2 049.49 m
↓
↑
2 049.49 m
↓
N 32.971804°
E112.675781°		 ← 2 049.76 m →
4 200 519 m²		 N 32.971804°
E112.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813018798828125 y=0.402862548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813018798828125 × 214)
    floor (0.813018798828125 × 16384)
    floor (13320.5)     		tx = 13320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402862548828125 × 214)
    floor (0.402862548828125 × 16384)
    floor (6600.5)     		ty = 6600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13320 / 6600 ti = "14/13320/6600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13320/6600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13320 ÷ 214
    13320 ÷ 16384     		x = 0.81298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6600 ÷ 214
    6600 ÷ 16384     		y = 0.40283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81298828125 × 2 - 1) × π
    0.6259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96656337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40283203125 × 2 - 1) × π
    0.1943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.610524353561035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96656337} λ = 1.96656337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.610524353561035))-π/2
    2×atan(1.84139668859389)-π/2
    2×1.07329227915234-π/2
    2.14658455830469-1.57079632675     		φ = 0.57578823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96656337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57578823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.990235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13320 KachelY 6600 1.96656337 0.57578823 112.675781 32.990235
    Oben rechts KachelX + 1 13321 KachelY 6600 1.96694687 0.57578823 112.697754 32.990235
    Unten links KachelX 13320 KachelY + 1 6601 1.96656337 0.57546654 112.675781 32.971804
    Unten rechts KachelX + 1 13321 KachelY + 1 6601 1.96694687 0.57546654 112.697754 32.971804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57578823-0.57546654) × R
    0.000321690000000041 × 6371000     		dl = 2049.48699000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57578823-0.57546654) × R
    0.000321690000000041 × 6371000     		dr = 2049.48699000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96656337-1.96694687) × cos(0.57578823) × R
    0.00038349999999987 × 0.838763374870166 × 6371000     		do = 2049.33252040702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96656337-1.96694687) × cos(0.57546654) × R
    0.00038349999999987 × 0.838938490417496 × 6371000     		du = 2049.76037645883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57578823)-sin(0.57546654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838763374870166-0.838938490417496)×R²
    abs(1.96694687-1.96656337)×0.000175115547329852×R²
    0.00038349999999987×0.000175115547329852×6371000²
    0.00038349999999987×0.000175115547329852×40589641000000     		ar = 4200518.81768922m²