Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1332 / 727
↖ ↑ ↗
← N 81.367886°
W121.464844°		 ← 733.41 m → N 81.367886°
W121.420899°		 →
↑
733.68 m
↓
↑
733.68 m
↓
N 81.361287°
W121.464844°		 ← 733.97 m →
538 297 m²		 N 81.361287°
W121.420899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16265869140625 y=0.08880615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16265869140625 × 213)
    floor (0.16265869140625 × 8192)
    floor (1332.5)     		tx = 1332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08880615234375 × 213)
    floor (0.08880615234375 × 8192)
    floor (727.5)     		ty = 727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1332 / 727 ti = "13/1332/727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1332/727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1332 ÷ 213
    1332 ÷ 8192     		x = 0.16259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 727 ÷ 213
    727 ÷ 8192     		y = 0.0887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16259765625 × 2 - 1) × π
    -0.6748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11996145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0887451171875 × 2 - 1) × π
    0.822509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58399063711951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11996145} λ = -2.11996145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58399063711951))-π/2
    2×atan(13.2499083724232)-π/2
    2×1.49546691701034-π/2
    2.99093383402068-1.57079632675     		φ = 1.42013751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11996145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.464844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42013751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.367886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1332 KachelY 727 -2.11996145 1.42013751 -121.464844 81.367886
    Oben rechts KachelX + 1 1333 KachelY 727 -2.11919446 1.42013751 -121.420899 81.367886
    Unten links KachelX 1332 KachelY + 1 728 -2.11996145 1.42002235 -121.464844 81.361287
    Unten rechts KachelX + 1 1333 KachelY + 1 728 -2.11919446 1.42002235 -121.420899 81.361287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42013751-1.42002235) × R
    0.000115160000000003 × 6371000     		dl = 733.684360000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42013751-1.42002235) × R
    0.000115160000000003 × 6371000     		dr = 733.684360000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11996145--2.11919446) × cos(1.42013751) × R
    0.000766989999999801 × 0.150089518987898 × 6371000     		do = 733.4114274335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11996145--2.11919446) × cos(1.42002235) × R
    0.000766989999999801 × 0.150203373507267 × 6371000     		du = 733.967776778435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42013751)-sin(1.42002235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150089518987898-0.150203373507267)×R²
    abs(-2.11919446--2.11996145)×0.000113854519369627×R²
    0.000766989999999801×0.000113854519369627×6371000²
    0.000766989999999801×0.000113854519369627×40589641000000     		ar = 538296.586754706m²