Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13314 / 23542
↖ ↑ ↗
← S 61.554110°
W 33.728027°		 ← 581.90 m → S 61.554110°
W 33.717041°		 →
↑
581.86 m
↓
↑
581.86 m
↓
S 61.559342°
W 33.728027°		 ← 581.80 m →
338 559 m²		 S 61.559342°
W 33.717041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406326293945312 y=0.718460083007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406326293945312 × 215)
    floor (0.406326293945312 × 32768)
    floor (13314.5)     		tx = 13314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718460083007812 × 215)
    floor (0.718460083007812 × 32768)
    floor (23542.5)     		ty = 23542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13314 / 23542 ti = "15/13314/23542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13314/23542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13314 ÷ 215
    13314 ÷ 32768     		x = 0.40631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23542 ÷ 215
    23542 ÷ 32768     		y = 0.71844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58866513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.4368896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37252930992145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58866513} λ = -0.58866513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37252930992145))-π/2
    2×atan(0.253465056427076)-π/2
    2×0.248237224433332-π/2
    0.496474448866664-1.57079632675     		φ = -1.07432188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58866513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07432188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.554110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13314 KachelY 23542 -0.58866513 -1.07432188 -33.728027 -61.554110
    Oben rechts KachelX + 1 13315 KachelY 23542 -0.58847338 -1.07432188 -33.717041 -61.554110
    Unten links KachelX 13314 KachelY + 1 23543 -0.58866513 -1.07441321 -33.728027 -61.559342
    Unten rechts KachelX + 1 13315 KachelY + 1 23543 -0.58847338 -1.07441321 -33.717041 -61.559342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07432188--1.07441321) × R
    9.1329999999834e-05 × 6371000     		dl = 581.863429998943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07432188--1.07441321) × R
    9.1329999999834e-05 × 6371000     		dr = 581.863429998943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58866513--0.58847338) × cos(-1.07432188) × R
    0.000191749999999935 × 0.476328601486932 × 6371000     		do = 581.901715473847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58866513--0.58847338) × cos(-1.07441321) × R
    0.000191749999999935 × 0.476248296013886 × 6371000     		du = 581.803611155985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07432188)-sin(-1.07441321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476328601486932-0.476248296013886)×R²
    abs(-0.58847338--0.58866513)×8.03054730457164e-05×R²
    0.000191749999999935×8.03054730457164e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.03054730457164e-05×40589641000000     		ar = 338558.786666076m²