Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1331 / 2374
↖ ↑ ↗
← N 60.108671°
W121.508789°		 ← 2 435.22 m → N 60.108671°
W121.464844°		 →
↑
2 436.02 m
↓
↑
2 436.02 m
↓
N 60.086763°
W121.508789°		 ← 2 436.84 m →
5 934 197 m²		 N 60.086763°
W121.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16253662109375 y=0.28985595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16253662109375 × 213)
    floor (0.16253662109375 × 8192)
    floor (1331.5)     		tx = 1331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28985595703125 × 213)
    floor (0.28985595703125 × 8192)
    floor (2374.5)     		ty = 2374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1331 / 2374 ti = "13/1331/2374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1331/2374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1331 ÷ 213
    1331 ÷ 8192     		x = 0.1624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2374 ÷ 213
    2374 ÷ 8192     		y = 0.289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12072844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289794921875 × 2 - 1) × π
    0.42041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.32075745833179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12072844} λ = -2.12072844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32075745833179))-π/2
    2×atan(3.74625793712479)-π/2
    2×1.30994526767616-π/2
    2.61989053535233-1.57079632675     		φ = 1.04909421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12072844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.508789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04909421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.108671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1331 KachelY 2374 -2.12072844 1.04909421 -121.508789 60.108671
    Oben rechts KachelX + 1 1332 KachelY 2374 -2.11996145 1.04909421 -121.464844 60.108671
    Unten links KachelX 1331 KachelY + 1 2375 -2.12072844 1.04871185 -121.508789 60.086763
    Unten rechts KachelX + 1 1332 KachelY + 1 2375 -2.11996145 1.04871185 -121.464844 60.086763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04909421-1.04871185) × R
    0.000382360000000137 × 6371000     		dl = 2436.01556000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04909421-1.04871185) × R
    0.000382360000000137 × 6371000     		dr = 2436.01556000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12072844--2.11996145) × cos(1.04909421) × R
    0.000766990000000245 × 0.498356546950355 × 6371000     		do = 2435.21592270126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12072844--2.11996145) × cos(1.04871185) × R
    0.000766990000000245 × 0.49868800599343 × 6371000     		du = 2436.83559509115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04909421)-sin(1.04871185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498356546950355-0.49868800599343)×R²
    abs(-2.11996145--2.12072844)×0.000331459043074689×R²
    0.000766990000000245×0.000331459043074689×6371000²
    0.000766990000000245×0.000331459043074689×40589641000000     		ar = 5934196.725533m²