Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1331 / 2373
↖ ↑ ↗
← N 60.130564°
W121.508789°		 ← 2 433.60 m → N 60.130564°
W121.464844°		 →
↑
2 434.42 m
↓
↑
2 434.42 m
↓
N 60.108671°
W121.508789°		 ← 2 435.22 m →
5 926 375 m²		 N 60.108671°
W121.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16253662109375 y=0.28973388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16253662109375 × 213)
    floor (0.16253662109375 × 8192)
    floor (1331.5)     		tx = 1331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28973388671875 × 213)
    floor (0.28973388671875 × 8192)
    floor (2373.5)     		ty = 2373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1331 / 2373 ti = "13/1331/2373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1331/2373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1331 ÷ 213
    1331 ÷ 8192     		x = 0.1624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2373 ÷ 213
    2373 ÷ 8192     		y = 0.2896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12072844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2896728515625 × 2 - 1) × π
    0.420654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32152444872571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12072844} λ = -2.12072844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32152444872571))-π/2
    2×atan(3.74913238317105)-π/2
    2×1.31013632148557-π/2
    2.62027264297115-1.57079632675     		φ = 1.04947632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12072844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.508789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04947632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.130564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1331 KachelY 2373 -2.12072844 1.04947632 -121.508789 60.130564
    Oben rechts KachelX + 1 1332 KachelY 2373 -2.11996145 1.04947632 -121.464844 60.130564
    Unten links KachelX 1331 KachelY + 1 2374 -2.12072844 1.04909421 -121.508789 60.108671
    Unten rechts KachelX + 1 1332 KachelY + 1 2374 -2.11996145 1.04909421 -121.464844 60.108671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04947632-1.04909421) × R
    0.00038210999999988 × 6371000     		dl = 2434.42280999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04947632-1.04909421) × R
    0.00038210999999988 × 6371000     		dr = 2434.42280999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12072844--2.11996145) × cos(1.04947632) × R
    0.000766990000000245 × 0.498025231838619 × 6371000     		do = 2433.59695363088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12072844--2.11996145) × cos(1.04909421) × R
    0.000766990000000245 × 0.498356546950355 × 6371000     		du = 2435.21592270126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04947632)-sin(1.04909421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498025231838619-0.498356546950355)×R²
    abs(-2.11996145--2.12072844)×0.000331315111736674×R²
    0.000766990000000245×0.000331315111736674×6371000²
    0.000766990000000245×0.000331315111736674×40589641000000     		ar = 5926374.63398882m²