Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13309 / 23499
↖ ↑ ↗
← S 61.328269°
W 33.782959°		 ← 586.13 m → S 61.328269°
W 33.771973°		 →
↑
586.07 m
↓
↑
586.07 m
↓
S 61.333540°
W 33.782959°		 ← 586.03 m →
343 484 m²		 S 61.333540°
W 33.771973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406173706054688 y=0.717147827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406173706054688 × 215)
    floor (0.406173706054688 × 32768)
    floor (13309.5)     		tx = 13309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717147827148438 × 215)
    floor (0.717147827148438 × 32768)
    floor (23499.5)     		ty = 23499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13309 / 23499 ti = "15/13309/23499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13309/23499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13309 ÷ 215
    13309 ÷ 32768     		x = 0.406158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23499 ÷ 215
    23499 ÷ 32768     		y = 0.717132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.18768310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58962387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717132568359375 × 2 - 1) × π
    -0.43426513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.3642841631868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58962387} λ = -0.58962387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3642841631868))-π/2
    2×atan(0.255563552324328)-π/2
    2×0.250208054290886-π/2
    0.500416108581773-1.57079632675     		φ = -1.07038022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58962387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.782959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07038022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.328269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13309 KachelY 23499 -0.58962387 -1.07038022 -33.782959 -61.328269
    Oben rechts KachelX + 1 13310 KachelY 23499 -0.58943212 -1.07038022 -33.771973 -61.328269
    Unten links KachelX 13309 KachelY + 1 23500 -0.58962387 -1.07047221 -33.782959 -61.333540
    Unten rechts KachelX + 1 13310 KachelY + 1 23500 -0.58943212 -1.07047221 -33.771973 -61.333540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07038022--1.07047221) × R
    9.19899999998197e-05 × 6371000     		dl = 586.068289998851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07038022--1.07047221) × R
    9.19899999998197e-05 × 6371000     		dr = 586.068289998851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58962387--0.58943212) × cos(-1.07038022) × R
    0.000191750000000046 × 0.479790665155716 × 6371000     		do = 586.131108337971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58962387--0.58943212) × cos(-1.07047221) × R
    0.000191750000000046 × 0.479709952664207 × 6371000     		du = 586.032506790378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07038022)-sin(-1.07047221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479790665155716-0.479709952664207)×R²
    abs(-0.58943212--0.58962387)×8.07124915089275e-05×R²
    0.000191750000000046×8.07124915089275e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.07124915089275e-05×40589641000000     		ar = 343483.963000065m²