Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13309 / 23498
↖ ↑ ↗
← S 61.322997°
W 33.782959°		 ← 586.23 m → S 61.322997°
W 33.771973°		 →
↑
586.20 m
↓
↑
586.20 m
↓
S 61.328269°
W 33.782959°		 ← 586.13 m →
343 616 m²		 S 61.328269°
W 33.771973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406173706054688 y=0.717117309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406173706054688 × 215)
    floor (0.406173706054688 × 32768)
    floor (13309.5)     		tx = 13309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717117309570312 × 215)
    floor (0.717117309570312 × 32768)
    floor (23498.5)     		ty = 23498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13309 / 23498 ti = "15/13309/23498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13309/23498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13309 ÷ 215
    13309 ÷ 32768     		x = 0.406158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23498 ÷ 215
    23498 ÷ 32768     		y = 0.71710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.18768310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58962387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71710205078125 × 2 - 1) × π
    -0.4342041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36409241558832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58962387} λ = -0.58962387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36409241558832))-π/2
    2×atan(0.255612560720216)-π/2
    2×0.250254057514473-π/2
    0.500508115028946-1.57079632675     		φ = -1.07028821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58962387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.782959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07028821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.322997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13309 KachelY 23498 -0.58962387 -1.07028821 -33.782959 -61.322997
    Oben rechts KachelX + 1 13310 KachelY 23498 -0.58943212 -1.07028821 -33.771973 -61.322997
    Unten links KachelX 13309 KachelY + 1 23499 -0.58962387 -1.07038022 -33.782959 -61.328269
    Unten rechts KachelX + 1 13310 KachelY + 1 23499 -0.58943212 -1.07038022 -33.771973 -61.328269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07028821--1.07038022) × R
    9.20100000001423e-05 × 6371000     		dl = 586.195710000906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07028821--1.07038022) × R
    9.20100000001423e-05 × 6371000     		dr = 586.195710000906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58962387--0.58943212) × cos(-1.07028821) × R
    0.000191750000000046 × 0.479871391133937 × 6371000     		do = 586.22972636146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58962387--0.58943212) × cos(-1.07038022) × R
    0.000191750000000046 × 0.479790665155716 × 6371000     		du = 586.131108337971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07028821)-sin(-1.07038022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479871391133937-0.479790665155716)×R²
    abs(-0.58943212--0.58962387)×8.07259782208414e-05×R²
    0.000191750000000046×8.07259782208414e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.07259782208414e-05×40589641000000     		ar = 343616.446179484m²