Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13306 / 2874
↖ ↑ ↗
← N 81.423769°
W 33.815918°		 ← 182.18 m → N 81.423769°
W 33.804932°		 →
↑
182.21 m
↓
↑
182.21 m
↓
N 81.422130°
W 33.815918°		 ← 182.21 m →
33 198 m²		 N 81.422130°
W 33.804932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406082153320312 y=0.0877227783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406082153320312 × 215)
    floor (0.406082153320312 × 32768)
    floor (13306.5)     		tx = 13306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0877227783203125 × 215)
    floor (0.0877227783203125 × 32768)
    floor (2874.5)     		ty = 2874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13306 / 2874 ti = "15/13306/2874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13306/2874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13306 ÷ 215
    13306 ÷ 32768     		x = 0.40606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2874 ÷ 215
    2874 ÷ 32768     		y = 0.08770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.1878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59019911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08770751953125 × 2 - 1) × π
    0.8245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.59051005546783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59019911} λ = -0.59019911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59051005546783))-π/2
    2×atan(13.3365722602957)-π/2
    2×1.49595459176454-π/2
    2.99190918352908-1.57079632675     		φ = 1.42111286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59019911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.815918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42111286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.423769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13306 KachelY 2874 -0.59019911 1.42111286 -33.815918 81.423769
    Oben rechts KachelX + 1 13307 KachelY 2874 -0.59000736 1.42111286 -33.804932 81.423769
    Unten links KachelX 13306 KachelY + 1 2875 -0.59019911 1.42108426 -33.815918 81.422130
    Unten rechts KachelX + 1 13307 KachelY + 1 2875 -0.59000736 1.42108426 -33.804932 81.422130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42111286-1.42108426) × R
    2.86000000000453e-05 × 6371000     		dl = 182.210600000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42111286-1.42108426) × R
    2.86000000000453e-05 × 6371000     		dr = 182.210600000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59019911--0.59000736) × cos(1.42111286) × R
    0.000191750000000046 × 0.149125146114065 × 6371000     		do = 182.177131654971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59019911--0.59000736) × cos(1.42108426) × R
    0.000191750000000046 × 0.149153426257326 × 6371000     		du = 182.211679787973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42111286)-sin(1.42108426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149125146114065-0.149153426257326)×R²
    abs(-0.59000736--0.59019911)×2.82801432602009e-05×R²
    0.000191750000000046×2.82801432602009e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.82801432602009e-05×40589641000000     		ar = 33197.7519855777m²