Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13301 / 23529
↖ ↑ ↗
← S 61.486004°
W 33.870850°		 ← 583.18 m → S 61.486004°
W 33.859863°		 →
↑
583.14 m
↓
↑
583.14 m
↓
S 61.491249°
W 33.870850°		 ← 583.08 m →
340 044 m²		 S 61.491249°
W 33.859863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405929565429688 y=0.718063354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405929565429688 × 215)
    floor (0.405929565429688 × 32768)
    floor (13301.5)     		tx = 13301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718063354492188 × 215)
    floor (0.718063354492188 × 32768)
    floor (23529.5)     		ty = 23529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13301 / 23529 ti = "15/13301/23529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13301/23529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13301 ÷ 215
    13301 ÷ 32768     		x = 0.405914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23529 ÷ 215
    23529 ÷ 32768     		y = 0.718048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.18817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59115785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718048095703125 × 2 - 1) × π
    -0.43609619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.3700365911412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59115785} λ = -0.59115785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3700365911412))-π/2
    2×atan(0.254097661659273)-π/2
    2×0.248831551996742-π/2
    0.497663103993485-1.57079632675     		φ = -1.07313322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59115785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.870850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07313322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.486004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13301 KachelY 23529 -0.59115785 -1.07313322 -33.870850 -61.486004
    Oben rechts KachelX + 1 13302 KachelY 23529 -0.59096610 -1.07313322 -33.859863 -61.486004
    Unten links KachelX 13301 KachelY + 1 23530 -0.59115785 -1.07322475 -33.870850 -61.491249
    Unten rechts KachelX + 1 13302 KachelY + 1 23530 -0.59096610 -1.07322475 -33.859863 -61.491249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07313322--1.07322475) × R
    9.15299999999508e-05 × 6371000     		dl = 583.137629999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07313322--1.07322475) × R
    9.15299999999508e-05 × 6371000     		dr = 583.137629999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59115785--0.59096610) × cos(-1.07313322) × R
    0.000191749999999935 × 0.477373414657431 × 6371000     		do = 583.178100251845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59115785--0.59096610) × cos(-1.07322475) × R
    0.000191749999999935 × 0.477292985198296 × 6371000     		du = 583.079844467709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07313322)-sin(-1.07322475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477373414657431-0.477292985198296)×R²
    abs(-0.59096610--0.59115785)×8.04294591349453e-05×R²
    0.000191749999999935×8.04294591349453e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.04294591349453e-05×40589641000000     		ar = 340044.447162922m²